Página actualizada por última vez el 15 Octubre, 2022

 

«La vida vale la pena vivirla por dos motivos solamente: el hacer matemáticas, y el enseñarlas» (S.D. Poisson, 1781-1840)

«Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo» (G. Galilei, 1564-1642)  

«Dios creó los números; lo demás es cosa nuestra» (Leopold Kronecker, 1823-1891)

«Los números son sombras de ese orden con que Dios dispuso, hizo y ordeno todas las cosas» (Gerolamo Cardano, matemático italiano, 1501-1576)

«Para aquellos que no conocen las matemáticas, es difícil sentir la belleza, la profunda belleza de la naturaleza... Si quieres aprender sobre la naturaleza, apreciar la naturaleza, es necesario aprender el lenguaje en el que habla» (Richard Phillips Feynman, 1918-1988)

«La frase más excitante que se puede oir en ciencia, la que anuncia nuevos descubrimientos, no es "¡Eureka!" (¡Lo encontré!), sino "Es extraño..."» (Isaac Asimov, 1920-1996). La idea de esta frase es similar a la siguiente: «La formulación de un problema es más importante que su solución» (Albert Einstein, 1879-1955)

«En el mundo no hay sitio para las matemáticas feas» (G. H. Hardy, matemático inglés, 1877-1947)

«En la mayor parte de las ciencias una generación derriba lo que otra había construido, y lo que uno parecía haber demostrado firmemente, otro lo deshace. Solo en la matemática cada generación construye un nuevo piso sobre la vieja estructura» (Hermann Hankel, matemático alemán, 1839-1873)

«La poca ciencia aleja de Dios; pero la mucha ciencia acerca» (Francis Bacon, filósofo inglés, 1561-1626). En la misma línea está la siguiente cita: «Cuanto más aprendo, más cerca estoy de Dios» (Albert Einstein)

«Dondequiera que haya un número está la belleza» (Proclo, 410-485)

 

 

 

 

I.   ORIGEN DE LOS NÚMEROS. SISTEMAS DE NUMERACIÓN. ARITMÉTICA

-   Las Matemáticas empezaron con los números, es decir, con la necesidad que el hombre tuvo de contar objetos cotidianos. De hecho, Aritmética viene del griego arithmos, número. En efecto, con la aparición de la agricultura en el período Neolítico (8 000 a 6 000 a.C.), surge la necesidad de predecir las estaciones, medir terrenos, etc. Sin embargo, como veremos más adelante, las Matemáticas de hoy tratan más bien de estructuras, pautas y formas.

-   Se han encontrado huesos de 30 000 años de antigüedad con marcas de cuenta. De hecho, "cálculo" proviene del latín calculis, piedra, lo cual indica que el hombre primitivo utilizaba piedras para contar. Muchas civilizaciones primitivas sólo distinguían entre uno, dos y muchos, mientras que otras consiguieron acceder a números muy grandes e incluso a las operaciones básicas con ellos: suma, resta, producto y división. Otras fueron más lejos y reconocieron a los números como conceptos abstractos, adoptando símbolos concretos para representarlos: cuando decimos, por ejemplo, "tres", nos referimos tanto a tres ovejas como a tres piedras: "tres" es un concepto abstracto, que sólo requiere una palabra ("tres") o signo (el 3). Hitos posteriores fueron la adopción de una base, o la idea de fracción. Como los dedos de las manos son un instrumento muy útil para contar, los sistemas de numeración solían ser decimales. No en vano, dígito proviene de dedo, en latín.

- Hacia el 3 000 a.C. los babilonios, utilizando su escritura cuneiforme (denominada así por sus signos en forma de cuña), empleaban un sistema de numeración posicional sexagesimal, es decir, de base 60, del cual se han encontrado muestras en tablillas de arcilla. Se cree que este sistema lo adoptaron de los sumerios ¿Por qué 60? Sin duda, por su gran número de divisores. Los babilonios sólo usaban dos símbolos para escribir cualquier número, utilizando un híbrido de sistema posicional y sistema aditivo (ver figura). La ventaja de un sistema posicional es obvia: con unos pocos símbolos eran capaces de representar cualquier número. Por cierto, como hay que inventar un número para las posiciones vacías, la asimilación del 0 como concepto fue problemática a lo largo del tiempo, como veremos.

   A partir de 60 el sistema se volvía posicional, pero no existía forma de indicar la ausencia de unidades de una posición dada, por lo que lógicamente podía haber confusión en ciertos casos. No existía el cero ni la coma decimal. De este sistema queda como vestigio nuestros 60 seg = 1 min, o 60 min = 1 h, y nuestro sistema de ángulos sexagesimal, ya utilizado por ellos, y que fue reutilizado por primera vez por Hypsicles de Alejandría hacia el 150 a.C. (De hecho, los matemáticos griegos tomaron la costumbre de dividir el círculo en 360º). Además, tenían símbolos especiales para fracciones como 1/2, 1/3, 2/3, etc.

   Con este sistema sexagesimal los babilonios  representaban números decimales, lo cual les permitía tratar asuntos como longitudes y pesos, interés simple y compuesto, impuestos, herencias y divisiones de parcelas, construcción de infraestructuras, contabilidad, transacciones comerciales, medida y división de tierras, etc. además de dominar la astronomía: elaboración de un calendario¹, estudio del movimiento de planetas, predicción de eclipses, etc. Estas fracciones sexagesimales subsistieron en Europa hasta fines del XVI, cuando fueron sustituidas por los decimales en base 10. Los matemáticos babilonios ya sabían resolver algebraicamente la ecuación de 2º grado y sistemas de ecuaciones (aunque no consideraban las soluciones negativas), manejaban tablas de multiplicar, de inversos –para las divisiones-, de cuadrados, cubos, y de raíces cuadradas y cúbicas. Además, parece ser que conocían el teorema de Pitágoras mil años antes que el propio Pitágoras... Ahora bien, los problemas algebraicos aparecen formulados y resueltos de una manera verbal, sin símbolos especiales. Tampoco había demostraciones. y su geometría estaba supeditada al álgebra. Llegaron a utilizar π = 25/8 ≅ 3,125.

-   Unos pocos siglos después -hacia el 2700 a.C., en adelante-, los logros matemáticos de los egipcios, en comparación, fueron más bien modestos. Utilizaban para representar números un sistema jeroglífico de signos en base 10, no posicional sino aditivo, que contemplaba signos para las unidades, decenas, centenas, etc.; por ejemplo, para representar 23 246 escribían:

 

 

 

También disponían de un sistema para las fracciones, necesarias para las frecuentes transacciones comerciales, aunque muy poco práctico, que fue la causa del escaso avance de su aritmética y álgebra. Aun así, en el Museo Británico de Londres puede admirarse el Papiro Rhind (hacia 1650 a.C.) (ver fragmento en figura dcha.), que contiene 87 problemas sobre resolución de ecuaciones, aritmética, geometría, etc. Tenían caracteres especiales para fracciones tipo 1/2, 2/3 o 1/4; el resto de fracciones se descomponían en fracciones unitarias. Por ejemplo, 2/5=1/3+1/15, construyendo para ello tablas.

Según Herodoto la geometría egipcia tuvo su origen en la necesidad de volver a trazar las lindes de los terrenos tras las crecidas del Nilo. Utilizaban π = 256/81 ≅ 3,16. Sus fórmulas geométricas de áreas y volúmenes a veces estaban equivocadas o eran aproximaciones groseras.

Su desarrollo astronómico era inferior al de los babilonios, pero adoptaron un calendario de 12 meses de 30 días + 5 días extra = 365 días.

-   Por su parte, los chinos utilizaban un sistema posicional decimal similar al nuestro actual, más de mil años antes que occidente. El problema era que no tenían el concepto de 0.

               El imperio chino tenía un sistema de pesos, medidas, moneda, impuestos, etc. que precisaba funcionarios competentes en Matemáticas. Para su formación se ideó un libro de texto, Nueve capítulos sobre las artes matemáticas (Jiu zhang suang shu), redactado entre el 200 a.C. y el 200 d.C., que es un compendio de 246 problemas prácticos, fundamentalmente de resolución de ecuaciones. Por ejemplo, utilizaban el actual método de Gauss para resolver sistemas, incluso de 3 ecuaciones lineales y 3 incógnitas.

El siglo XIII coincide con la Edad de Oro de la Matemática china. Lichich es autor de un tratado que contiene 170 problemas sobre círculos circunscritos e inscritos en un triángulo. Chiu-Sao resolvía ecuaciones de 2º grado, cúbicas y cuadráticas por un método aproximativo progresivo, muy similar al que después ideó Newton, y que hoy denominamos «Método de Horner», y calculaba raíces cuadradas. Shih-Chieh sumaba series infinitas y utilizaba el que conocemos como triángulo de Pascal hasta la octava potencia. Pero, después de este período, la Matemática china se estanca, y no podrá equipararse a la occidental.

-  Los antiguos griegos utilizaron a lo largo de los siglos diferentes sistemas numéricos no posicionales engorrosísimos para hacer cálculos: hacia el 500 a.C adoptaron el sistema ático, decimal, y posteriormente en el período alejandrino el jónico, también decimal, de signos alfabéticos. Curiosamente, no se sabe qué sistema utilizaron previamente los antiguos matemáticos griegos -por ejemplo los pitagóricos−. Todo ello supuso un cierto freno a sus avances. Existía un símbolo para el cero, que indicaba unidades ausentes. Las operaciones aritméticas eran semejantes a las nuestras; así, para sumar dos números se colocaban en columna, lo cual supuso un gran paso adelante en comparación con los egipcios. Las fracciones en el sistema griego y egipcio eran muy complicadas por lo que los astrónomos greco-alejandrinos adoptaron las fracciones sexagesimales babilónicas.

   Lo mismo podemos decir del conocido sistema de numeración decimal romano. Por cierto, de las matemáticas romanas apenas podemos decir algo digno de mención. Sus fracciones estaban en base 12; usaban signos especiales para designar 1/12, 2/12... 11/12, 1/24, 1/36, etc..

-   Hasta el 200 d.C. la matemática india es autóctona y no presenta grandes progresos, pero a partir de esa fecha se nutren de los griegos. Los indios utilizaban un utilísimo sistema posicional desde el 400 d.C. y empleaban el cero desde al menos el s. IX. El mérito era que el cero era un número con derecho propio, no el simple hueco de los matemáticos alejandrinos. Los matemáticos indios medievales eran sobre todo astrónomos -algunos sostenían la esfericidad de la Tierra- y dominaban la aritmética y divisibilidad, la resolución de ecuaciones de 1^er y 2^º grado, trigonometría, combinatoria, etc. Reemplazaron las tablas de cuerdas de los griegos por tablas de senos, más fáciles de manejar. El álgebra se aplicó a los problemas habituales del comercio: intereses, descuentos, reparto de beneficios, herencias, etc. Se preocuparon poco por la geometría: algunas de sus fórmulas de áreas eran incorrectas, y usaban como π. Las dos contribuciones más relevantes de las matemáticas hindúes son el sistema decimal posicional y la introducción del equivalente a la actual función seno. Para las fracciones en astronomía usaban notación posicional sexagesimal; para otras finalidades empleaban una razón de enteros como la actual, pero sin la barra: . Y dieron un gran paso al admitir los números irracionales.

Aryabhata (n. 476 d.C.) dio reglas para extraer raíces cuadradas y cúbicas de enteros, fórmulas para el cálculo de áreas, y estudió las progresiones aritméticas y geométricas, y la trigonometría esférica. Calculó con gran precisión la longitud de la Tierra, para lo cual llegó a π ≅ 3,1416. Obtenía las soluciones enteras de ax ± by = c donde a, b, c son enteros positivos por el método utilizado en la actualidad. Y es el inventor del seno.

Brahmagupta (n. 598 d.C.) proporcionó las primeras reglas para trabajar con el cero. Antes de él se consideraba que una operación como 3 - 4 carecía de sentido, pero él abrió la puerta a la existencia de los números negativos. En efecto, sistematizó la aritmética de los números positivos, y en cuanto a los negativos -concebidos para indicar deudas- dio las reglas para las cuatro operaciones básicas. Por ejemplo, indica que 1+0=1 y 1·0=0, pero no sabe explicar la división entre cero. En las ecuaciones diofánticas avanzó más que el propio Diofanto. También estudió el cálculo de áreas.

El matemático más importante del período medieval es Bhaskara (n. 1114 d.C.; figura dcha.), el cual afirma que un número (distinto de cero) dividido por cero es infinito, y estudia ecuaciones lineales y cuadráticas, medidas de áreas, progresiones aritméticas y geométricas, raíces y ternas pitagóricas. Indica que un número positivo tiene dos √, + y −, y razona que no existe la √ de un número negativo. Destacó en la Astronomía.

Madhava (ca. 1350-1425) utilizó importantes descubrimientos en series infinitas, como:

También, obtuvo π utilizando una serie:

antes que Leibniz, como veremos en el cap. VI. Pero, a partir de esta época, la matemática india se queda estancada.

-   Los árabes entraron en contacto con la matemática griega por medio de los bizantinos, y muy pronto tradujeron y estudiaron a Euclides, Ptolomeo -el Almagesto-, Arquímedes, Herón, Diofanto, etc. Tomaron el sistema de numeración indio de nueve dígitos (sin el cero) -si bien sus nueve símbolos eran bastante diferentes a los actuales- y el sistema posicional para los enteros. Para las fracciones seguían el sistema indio. Para la astronomía usaban las fracciones sexagesimales de Ptolomeo. Trabajaron libremente con los irracionales pero dieron un paso atrás al rechazar los negativos. Sus conocimientos pasaron a Europa vía la península ibérica, jugando aquí un papel fundamental la Escuela de Traductores de Toledo, que tradujo las grandes obras de la ciencia árabe al latín.

-   Durante gran parte de la Edad Media las matemáticas europeas permanecen estancadas debido a la pobre herencia romana en este aspecto y a la escasez de traducciones griegas; pero hacia el 1100, debido a los contactos con los griegos bizantinos y los árabes -todo ello motivado por las Cruzadas- se inicia un lento pero progresivo despegue. El fructífero sistema de numeración indo-arábigo pasó a Europa², consolidándose en parte gracias al Liber Abaci publicado en 1202 por el italiano Leonardo de Pisa (1170-1250), conocido como Fibonacci (es decir, hijo de Bonaccio; su padre era un comerciante con el que viajó por Oriente, lo cual le llevó a conocer el sistema de numeración decimal de los árabes), el cual también inventa la notación actual para fracciones, describe métodos  y problemas algebraicos, recomienda el uso de los numerales indo-arábigos, enseña el método hindú de cálculo de enteros, fracciones, raíces cuadradas y cúbicas, y plantea su famosa sucesión³.

-  El paso del sistema romano al indo-arábigo fue lento, entre otros motivos debido a que el cálculo mediante el ábaco (figura izda.) estaba muy extendido. A partir del siglo XII y hasta el XVI hubo una gran competencia entre los abacistas –partidarios del cálculo mediante el ábaco- y los algoristas –partidarios del cálculo mediante pluma y papel-, que acabó con el triunfo definitivo de los segundos a partir del siglo XVII. La introducción del nuevo cálculo fue una verdadera revolución. En aquel tiempo solo una minoría sabía calcular, lo cual abría todas las puertas de la administración. El gran cambio consistió en calcular mediante palabras o sígnos en lugar de mediante objetos (bolas o cuentas). ¡Se empezó a calcular con los nombres de los mismos números! Eliminados los ábacos y los diferentes dispositivos, se pasó al papel. El cálculo se convirtió en un cálculo escrito.

   Curiosamente, aunque la notación decimal se impuso al final de la Edad Media, en Europa se seguían representando los decimales mediante fracciones sexagesimales. Por ejemplo, 27,56 se escribía 27; 33, 36, ya que:

-   Nicolás Oresme (ca. 1323-1382), obispo francés, consideró exponentes fraccionarios, y representó el cambio en la velocidad con respecto al tiempo mediante diagramas. Fue el creador de las palabras "numerador" y "denominador".

-  Hacia el 1500 se aceptaba en Europa el cero y los irracionales se usaban en la tradición de hinúes y árabes. Por ejemplo, Cardano racionalizaba fracciones con raíces cúbicas. Pero matemáticos como Stifel, Cardano, Vieta, Descartes, Pascal, etc. consideraban los números negativos como absurdos, ficticios, imposibles, etc. como coeficientes y/o raíces de una expresión algebraica, incluso en los siglos XVI y XVII.

-   En la 2ª mitad del siglo XVI el holandés Simon Stevin (1548-1620) inventó la base de nuestro sistema actual para representar decimales, con el fin de evitar los engorrosos cálculos con las fracciones sexagesimales que se usaban a la sazón: por ejemplo, 5,713 lo escribía así:

En la figura derecha, que es un fragmento de una de sus obras, puede apreciarse esto. Con el tiempo, se prescindió de los incómodos símbolos

para indicar la posición, y el derivó en la coma actual, que, por cierto, fue ideada por el matemático y teólogo escocés John Neper (1550-1617), lo cual supuso un gran avance, al ganarse en comodidad en los cálculos.

-   Neper fue también el inventor hacia 1594 de los logaritmos –fue él quien acuñó esa palabra− para simplificar los tediosos cálculos de productos en Trigonometría esférica aplicada a la Astronomía, pero empleaba⁴ una base incómoda, en concreto 10⁷. Pasó 20 años de su vida elaborando sus tablas de logaritmos. Su contemporáneo Henry Briggs (1561-1630), catedrático de Oxford, le sugirió en 1615 el empleo de la base 10 y, a su muerte, perfeccionó sus ideas, decantándose por el empleo de dicha base decimal. En 1617 publicó las primeras tablas de logaritmos, similares a las actuales, y definió el logaritmo de un número tal y como hoy se conoce.

-   La Asamblea Nacional francesa aprobó en 1791 el sistema métrico decimal, que posteriormente han ido adoptando la mayoría de los países.

 

 

NOTAS:

1  El calendario babilónico fue utilizado por judíos, griegos y romanos hasta el 45 a.C., cuando se adoptó el calendario juliano.

2  El papa Silvestre II (2ª mitad siglo X), que vivió en España, y escribía libros de Aritmética y Geometría, fue uno de los pioneros en introducir los numerales indo-arábigos en Italia. En 1092 el rabino toledano Abraham Besnera explicaba el sistema de numeración decimal actual.

3  La sucesión de Fibonacci tiene por término general a_n=a_n-1+a_n-2, donde n es mayor o igual que 3 , por lo que sus primeros términos son 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21... Curiosamente, está muy presente en la naturaleza, siempre que se produce crecimiento (nº de pétalos de una flor, nº de segmentos de una piña, etc.).

4  Los logaritmos neperianos –que utilizan la base e, siendo e ≅ 2,7182818… un número irracional- reciben tal nombre en honor de Neper, si bien él no llegó a utilizar dicha base. Fueron en realidad introducidos por John Speidell en 1619 y definitivamente asentados por Leonard Euler en 1728. Neper también popularizó su curiosa máquina de multiplicar, llamada «Rodillos de Neper».

 

   

II. GEOMETRÍA

-  El término Geometría procede del griego: geo-metría, es decir, medida de la Tierra.  

-  Tales de Mileto (ca. 630−545 a.C.) era comerciante, y en sus viajes a Asia Menor tomó contacto con los conocimientos sobre Astronomía y Matemáticas de los egipcios, que luego introdujo en Grecia. Se dedicó a las Matemáticas por diversión, y es probablemente el primer matemático que trazó el rumbo para el desarrollo de la Geometría en términos abstractos. Por eso se le considera el fundador de esta disciplina.

-   Parece ser que Pitágoras de Samos (ca. 580−495 a.C.) no llegó ni siquiera a demostrar su famoso teorema. Por cierto, que se le considera el fundador de la Aritmética. También ha pasado a la posteridad por la secta que fundó, la cual sostenía que el universo estaba basado en números. A esta escuela pertenecieron prestigiosos matemáticos a lo largo de los siglos: Filolao de Crotona, Hipaso de Metaponte, Hipócrates de Quíos, Demócrito el atomista, los eleatas Parménides y Zenón, el sofista Hipias de Elis, etc. Por ejemplo, experimentando con una cuerda, Pitágoras descubrió que los intervalos entre notas musicales armónicas están en una relación de números enteros:

   Cuando un bajo, un tenor y una soprano cantan un do, el do del bajo está una octava por debajo del do del tenor, y éste a su vez una octava por debajo del de la soprano; las frecuencias de los tres do se pueden relacionar matemáticamente con el hecho de duplicar la frecuencia en cada caso, es decir, la proporción sería 2:1. Pitágoras observó que si se detenía la vibración de una cuerda tensa presionándola por su punto medio y se pulsaba la mitad resultante de la cuerda, la nota sería una octava más alta que la anterior. Dividiendo la cuerda en tres partes, si se tocan 2/3 de la cuerda, se obtiene la quinta: proporción 3:3. Y si dividimos la cuerda en cuatro partes iguales obtenemos la cuarta: 4:3.

   Curiosamente, uno de sus seguidores, Hipaso de Metaponto (s. V a.C.), fue arrojado por la borda de un barco por descubrir la irracionalidad de √2. Precisamente este descubrimiento tambaleó el propio orden pitagórico, aunque, una vez superada la conmoción, los griegos comenzaron a acostumbrarse a la idea de que también los irracionales debían ser números.

- Platón (427-347 a.C.) además de filósofo era matemático, continuador de Pitágoras. Fundó en Atenas en 387 a.C. su Academia, cuyo frontispicio rezaba «No entre aquí nadie que ignore la Geometría». Consideraba que la Geometría era la llave para entender el Universo. En concreto, creía que los cinco sólidos que llevan su nombre -tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro-- formaban la materia. De hecho, los platónicos destacaron en el estudio de las figuras y sólidos geométricos, y descubrieron las secciones cónicas -en concreto, Menecmo, discípulo de Eudoxo-. Teodoro de Cirene descubrió que las √ más habituales eran irracionales. A la escuela platónica se debe el riguroso método deductivo de demostración a base de axiomas y teoremas, y el método de reducción al absurdo. Otros prestigiosos miembros de la Academia fueron, entre otros, Teeteto, Arquitas de Tarento, Aristóteles, Autólico de Píltano, Eudemio de Rodas, etc.

-   La teoría griega sobre los irracionales fue concebida por Eudoxo de Cnido (ca. 400−347 a.C.), maestro de Euclides, circa 370 a.C. Los griegos intuían que π  era irracional¹. Eudoxo es también el inventor del método de exhaución, junto con Antifón, precedente del actual cálculo integral, para hallar áreas de figuras planas² y volúmenes de sólidos. Demostró las fórmulas del área de la pirámide y del cono. Eudoxo se apoyaba únicamente en el proceso deductivo de las demostraciones.

-   A partir del siglo IV a.C., con el comienzo de la época alejandrina, la matemática griega se vuelve más práctica: se llega a obtener una buena aproximación para π, se comienza a utilizar los irracionales, y se desarrolla el álgebra y la trigonometría, la mecánica, óptica, astronomía, geografía, etc. Los griegos buscaban verdades y vieron que solamente las obtendrían por los métodos infalibles del razonamiento deductivo. Además, el atractivo estético de las matemáticas no fue pasado por alto. Ahora bien, fueron incapaces de admitir el concepto de ∞ y de número irracional: ¿se podía asignar un número a una magnitud inconmensurable? Los únicos números admisibles eran las razones de segmentos.

-   Euclides de Alejandría (ca. 325−265 a.C.), geómetra, es el autor de los célebres Elementos -constan de XIII libros³- que destacan por su estructura lógica axiomatizada a base de rigurosas demostraciones -por ejemplo, fue el primero que demostró el teorema de Pitágoras; Libro I, 47-, y que tuvieron vigencia durante casi dos mil años. Constituyen tanto un resumen matemático de la época precedente como el desarrollo lógico de una teoría. De ello hablaremos en el capítulo X. También investigó sobre óptica geométrica, enunciando la ley de reflexión. Por cierto, que el siglo III a.C. es el siglo de oro de las matemáticas griegas, con el trío Euclides-Apolonio en Alejandría, y Arquímedes en Siracusa. Todo se desarrollará prácticamente en alejandría a apartir de este siglo.

-   Arquímedes de Siracusa (Sicilia, ca. 287−212 a.C.) (figura dcha.), el más grande de los matemáticos de la antigüedad, utilizó el método de exhaución –el cual presenta el inconveniente de tener que conocer a priori lo que se va a probar– para demostrar fórmulas de áreas y volúmenes de la esfera, cilindro, figuras de revolución, parábolas, la espiral que lleva su nombre, etc. Utilizando un polígono de 96 lados inscrito y circunscrito en un círculo llegó a una buena aproximación de π:

  (para hacernos una idea, ello equivale a 3,140845<π<3,142857). Demostró también fehacientemente que π era constante. Otra aproximación que utilizó fue la siguiente:

   Además, también era ingeniero: ideó catapultas usando su ley de la palanca, poleas compuestas, inventó el tornillo hidráulico, empleó grandes espejos para quemar a una flota romana enemiga, ideó el famoso principio hidrostático que lleva su nombre, etc.

-   Hoy día está probado que es imposible con regla (sin marcas de medida, se entiende...) y compás la trisección del ángulo, la duplicación del cubo (el llamado "Problema Délico") y la cuadratura del círculo, pero los griegos buscaron incansablemente su hipotética solución. Es trivial probar que la cuadratura del círculo equivaldría a obtener π con regla y compás, pero ello es imposible⁴.

-   Apolonio de Perga (Asia Menor, ca. 262−190 a.C.), discípulo de Euclides, descubrió y estudió con detalle las secciones cónicas en su famosa obra homónima. De hecho, inventó los términos elipse, hipérbola y parábola. Definió las cónicas como lugares geométricos del plano. Se basó en conocimientos anteriores pero también de su cosecha, y su sistematización es ingeniosa, original y muy organizada.

-   Los griegos de la época alejandrina desarrollaron la trigonometría esférica -la cual incluye ideas básicas de la trigonometría plana- debido, sobre todo, a la idea de cuantificar la astronomía: predecir las posiciones de los cuerpos celestes, medir el tiempo, el calendario, la navegación y la geografía.

El primer gran astrónomo alejandrino fue Aristarco (ca. 310-230 a.C.), que utilizó la geometría para medir distancias y tamaños relativos entre cuerpos celestes. Fue el primero en proponer la hipótesis heliocéntrica, rechazada por los griegos. Eratóstenes (ca. 276−194 a.C.), director de la biblioteca de Alejandría, calculó en 250 a.C. con gran precisión el radio de la tierra. Hiparco de Nicea (vivió en Rodas y Alejandría; ca. 190−120 a.C.) descubrió la precesión de los equinoccios, determinó el ángulo de la eclíptica, mejoró la determinación de la duración del año solar, e introdujo la latitud y la longitud, e inventó la proyección para dibujar mapas de la Tierra que luego perfeccionaría Ptolomeo. Además, fue el primero en construir tablas trigonométricas, aplicándolas al estudio de la bóveda celeste, aunque posteriormente se perdieron. Se le considera el fundador de la Trigonometría.

-   Menelao de Alejandría (ca. 70−140), hacia el año 100, sienta las bases del estudio de la geometría esférica, estudiando triángulos esféricos y teoremas relacionados con ellos, y las secciones cónicas. Estableció que en un triángulo esférico la suma de los ángulos es mayor que 180º.

-   Ptolomeo de Alejandría (ca. 100−170), responsable del modelo de sistema solar geocéntrico que estaría vigente durante muchos siglos, escribe hacia el año 150 el Almagesto, el libro más importante de Trigonometría de la antigüedad. Continuador de la obra de Hiparco y Menelao, en él se mezclan Trigonometría y Astronomía. Recoge, entre otras, las fórmulas del seno de la suma y de la resta de dos ángulos, así como la del seno del ángulo mitad. Ello le permite construir unas completas tablas trigonométricas, que perduraron. Ahora bien, para Ptolomeo las distintas funciones trigonométricas son cuerdas de arcos. Este libro pone la trigonometría en su forma definitiva, que perdurará alrededor de mil años. También investigó sobre óptica y refracción. Utilizó un polígono de 120 lados inscrito y circunscrito en un círculo para llegar a una aproximación de π mejor que la de Arquímedes⁵:

-   Herón de Alejandría (vivió en alguna época comprendida entre el 100 a.C. y el 100 d.C.), agrimensor, demuestra la fórmula que lleva su nombre para hallar el área de un triángulo:

donde s es el semiperímetro y a,b,c los lados, si bien parece que es debida a Arquímedes. También aplicó la geometría a la óptica de los espejos.

-   Pappus (siglo IV), de la escuela de Alejandría, hace una síntesis de la geometría de los siglos precedentes. También destacan Teón de Alejandría y su hija Hipatia, la única mujer matemática de la Antigüedad.

-  En el siglo V se dan los grandes comentaristas de las matemáticas griegas: Proclo comenta a Euclides, y Eutoquio a Apolonio y Arquímedes. En el siglo VI destaca Boecio, que es el último matemático de la Antigüedad.

-   También en esta disciplina, durante toda la Edad Media no se produce ningún avance sustancial. Como curiosidad, Roberto de Chester (s. XII) es el responsable de la actual palabra “seno”, al traducir incorrectamente del árabe un cierto término, que él entendió como “sinus” (bahía o ensenada, en latín).

-  En 1453, la caída de Constantinopla a manos de los árabes tuvo enormes consecuencias: gran número de eruditos huyeron, llevándose consigo centenares de obras griegas cuya llegada a Occidente fue decisiva.

-   Hasta 1450 la trigonometría sobre todo era esférica, pero a partir de esa fecha empezó a tener importancia la trigonometría plana, de la mano de los alemanes. Johann Müller (1436-1476), más conocido como “Regiomontano”, expone los conceptos fundamentales sobre magnitudes y razones, resuelve problemas de triángulos e incluso aborda la trigonometría esférica. Además, demostró que no era posible la cuadratura del círculo. Construyó tablas de senos y tangentes bastante exhaustivas. Tradujo directamente del griego. Obtuvo la ley de los senos y de los cosenos para triángulos esféricos.

-   Luca Pacioli (1445-1514), monje italiano, en su obra Divina Proportione (1509) aplicó el concepto de proporción para descubrir el plan matemático en todas las fases de la naturaleza y en el universo mismo. Es el primer tratado impreso de álgebra, y aunque no aporta nada nuevo, presenta un inventario del álgebra de su tiempo, procedente esencialmente de la obra de los matemáticos árabes y de las traducciones que estos habían hecho de los matemáticos griegos..

-   El polaco Nicolás Copérnico (1473-1543), al implantar su sistema heliocéntrico –como veremos en el capítulo VI-, demostró un gran dominio de la Trigonometría. Su alumno el alemán Georg Joachim Rheticus (1514-1576) combinó los avances anteriores para construir detalladas tablas de funciones trigonométricas. A él se debe la noción actual de seno, y la utilización de las seis funciones trigonométricas.

-   Gerard Kremer, conocido como Mercator (1512-1594) ideó su famosa proyección (ver figura) para confeccionar mapas conformes: los meridianos están igualmente espaciados pero el espaciado entre paralelos aumenta, de modo que una curva sobre la esfera cuyo rumbo es la brújula constante (es decir, que corta a los meridianos según un mismo ángulo) se convierte en una recta en el mapa; ahora bien, las distancias y las áreas no se conservan, y las regiones polares se deforman considerablemente.

-   Como curiosidad, la palabra Trigonometría la introdujo el matemático y astrónomo germano Bartolomäus Pitiscus (1561-1613) en 1595. También construyó tablas detalladas.

-  El alemán Johannes Werner (1560-1622) empleaba varias identidades trigonométricas para transformar sumas trigonométricas en productos, como por ejemplo

Estas fórmulas también fueron descubiertas independientemente por el francés François Vieta (1540-1603), que sistematizó la Trigonometría plana y esférica. Reunió las fórmulas para resolver triángulos planos y esféricos rectos, e ideó la ley de las tangentes, en un triángulo de lados a, b y c, y ángulos opuestos A, B y C:

   e identidades para sen nθ y cos nθ. Curiosamente, y como muchos otros científicos, rechazó la teoría heliocéntrica de Copérnico. Obtuvo también la siguiente expresión:

-  El escocés John Neper (1550-1617) investigó las propiedades de las figuras geométricas sobre una superficie esférica, obteniendo importantes resultados en la resolución de triángulos esféricos. Precisamente, y como ya hemos comentado en el capítulo anterior, inventó los logaritmos para agilizar los cálculos de la trigonometría esférica.

-  En el siglo XVII empezaron a definirse las cónicas como lugares geométricos en el plano, en vez de como secciones de un cono, que era la definición tradicional de Apolonio.

-   En 1639 el filósofo, matemático y físico francés René Descartes (1596-1650) advirtió que los sólidos regulares cumplen que nº caras + nº vértices = nº aristas + 2. El suizo Leonhard Euler (1707-1783) lo demostró en 1751; relacionado con esta fórmula, había resuelto en 1735 el problema de los puentes de Köenigsberg: ¿era posible recorrer exactamente una vez todos y cada uno de los siete puentes de la ciudad?:

Reduciendo el problema en términos de nodos de un grafo demostró que era imposible. Con ello inventó la Teoría de grafos, una rama de la Topología. Euler es también responsable de la usual notación A, B, C y a, b, c para los ángulos y lados, respectivamente, de un triángulo, y de la medida en radianes (1748) de los ángulos.

-   Las fórmulas del sen(A+B) o sen(A–B) se deben a muchas personas entre las cuales están Jean Bernouilli (1667-1748) y Thomas Fancet de Lagny (1660-1734). Euler en 1748 dio el tratamiento completo de las funciones trigonométricas.

-   Al francés Gérard Desargues (1591-1661) puede considerársele como uno de los padres de la geometría Proyectiva. Su origen se halla en los trabajos sobre perspectiva y proyecciones de los pintores renacentistas. Sobre este tema también aportó su compatriota Blaise Pascal⁶ (1623-1662), a petición del anterior. Posteriormente, el también francés Gaspard Monge (1746-1818) funda la Geometría Descriptiva, al fundir en un todo armónico los métodos –llamados proyecciones- que ya se conocían para representar sobre el plano las figuras sólidas. Además, en el tema de las ecuaciones en derivadas parciales introdujo el lenguaje de la geometría allí donde hasta entonces se había trabajado de un modo puramente analítico. En este sentido, creó un nuevo e interesante concepto, el de curvas características.

-   El alemán Friedrich Bessel (1784-1846) es el autor de las fórmulas análogas a las del teorema del seno y del coseno de la trigonometría plana para la trigonometría esférica, conocidas como “grupos Bessel”.

-   Posteriormente, en el siglo XIX, la Geometría evoluciona vertiginosamente de la mano del Álgebra, merced a la teoría de grupos. Ello lo veremos en el capítulo X.

 

 

NOTAS:

1 Ello no pudo probarse hasta 1760, por obra del suizo-alemán Johann Heinrich Lambert (1728-1777), colega de Euler y Lagrange en Berlín, y precursor también de la geometría hiperbólica y la proyección cartográfica que lleva su nombre. En realidad probó que la tangente de un número racional es irracional; y de tg π/4=1 se sigue que π no puede ser racional. También probó que e^x es irracional (salvo si x=0) y que el ln de un número racional (salvo el 1) es irracional.

2 También fue astrónomo -creador de la primera teoría astronómica de los movimientos celestes- y geógrafo: llegó a determinar que el año solar tenía 6 horas más que los 365 días que entonces tenía asignados, y fue el primero que dividió la esfera celeste en grados de longitud y latitud.

3 He aquí un resumen de lo que tratan los XIII libros:

Libro I: Sobre paralelismo, teorema de Pitágoras (demostrado en la proposición 47), figuras equivalentes, etc.

Libro II: Álgebra geométrica, es decir, demostrar geométricamente fórmulas algebraicas.

Libro III: Dedicado a la geometría de la circunferencia.

Libro IV: Sobre triángulos, cuadrados, pentágonos y hexágonos regulares, inscritos o circunscritos a círculos.

Libro V: Teoría de las proporciones, basada en los trabajos de Eudoxo.

Libro VI: Sobre figuras semejantes.

Los siguientes tres libros tratan sobre Aritmética, es decir, teoría de números:

Libro VII: Algoritmo de Euclides para hallar el MCD, teoremas sobre divisibilidad de enteros, etc.

Libro VIII: Principalmente trata las progresiones geométricas.

Libro IX: Unicidad de la descomposición factorial, existencia de infinitos números primos, etc.

Libro X: Sobre magnitudes inconmensurables, es decir, los números irracionales.

Libro XI: Estudia los volúmenes de sólidos.

Libro XII: Sobre áreas y volúmenes, utilizando el método de exhaución de Eudoxo.

Libro XIII: Estudia propiedades de los polígonos regulares como tales e inscritos en círculos, y el problema de cómo inscribir los cinco                poliedros regulares en una esfera. Prueba también que no existen más que esos cinco tipos de poliedros regulares convexos.

4 Número construible es aquel que puede ser obtenido por regla y compás (√,⁴√,⁸√, etc.). Cuesta poco demostrar que todo número construible es algebraico, es decir, es solución de una ecuación polinómica con coeficientes racionales, pero lo contrario no es cierto: hay números algebraicos que no son construibles (por ejemplo, ³√2). Lo contrario de algebraico es trascendente, denominación acuñada por Euler (1707-1783), quien sugirió que π lo era. Los números trascendentes forman un conjunto infinito no numerable:

   El alemán Ferdinand Von Lindemann (1852-1939) demostró en 1882 que π era trascendente, luego no podía ser construible, y por lo tanto la cuadratura del círculo es imposible. El problema délico equivale a construir geométricamente ³√2 con regla y compás; Pierre Wantzel (1814-1848) probó en 1837 que era imposible, y también probó la imposibilidad de la trisección.

5 La historia de las sucesivas aproximaciones de π ha sido apasionante:

Fecha	Protagonista del acontecimiento	Aproximaciones de π
ca. 2000 a.C.	Egipto: Papiro Rhind	(16/9)2 = 3,160493 ...
ca. 1900 a.C.	Especialistas babilonios	25/8 = 3,125
ca. 900 a.C.	India: Shatapatha Brahmana	339/108 = 3,138888 ...
ca. 250 a.C.	Arquímedes	223/71<π<22/7
		(3,140845...<π<3,142857...)
5	Liu Xin	3,154
150	Ptolomeo	377/120 = 3,141666...
480	Zu Chongzhi	3,1415926<π<3,1415927
499	Aryabhata	62.832/20.000 = 3,1416
800	Al Khwarizmi	3,1416
1150	Bhaskara	3,14156
1220	Fibonacci	3,141818
1400	Madhava de Sangamagrama usando una serie de potencias	11 dígitos decimales
1596	Ludolph van Ceulen , por medio de polígonos	20 dígitos decimales
1615		32 dígitos decimales
1621	Willebrord Snell	35 dígitos decimales
1699	Abraham Sharp , utilizando series	71 dígitos decimales
1706	John Machin	100 dígitos decimales
1719	Thomas Fantet de Lagny (calculó 127 dígitos decimales, pero no eran todos correctos)	112 dígitos decimales
1794	Jurij Vega (calculó 140 dígitos decimales, pero no eran todos correctos)	137 dígitos decimales
1841	William Rutherford (calculó 208 dígitos decimales, pero no eran todos correctos)	152 dígitos decimales
1844	Zacharias Dase y Schulz von Strassnitzky (calcularon 205 dígitos decimales, pero no eran todos correctos)	200 dígitos decimales
1847	Thomas Clausen (calculó 250 dígitos decimales, pero no eran todos correctos)	248 dígitos decimales
1853	William Rutherford	440 dígitos decimales
1874	William Shanks (Dedicó 20 años de su vida a calcular 707 dígitos decimales, pero no eran todos correctos)	527 dígitos decimales
1949	D.F. Ferguson y John Wrench, utilizando una calculadora de sobremesa	1.120 dígitos decimales
1949	John W. Wrench Jr. y L.R. Smith, utilizando el ENIAC, una computadora electrónica, como en el caso de todos los investigadores siguientes.	2.037 dígitos decimales
1958	Francois Genuys	10.000 dígitos decimales
1961	Daniel Shanks y John Wrench	100.265 dígitos decimales
1973	Jean Guilloud y Martin Bouyer	1.001.250 dígitos decimales
1983	Yasumasa Kanada, Yoshiaki Tamura y Sayaka Yoshino	16.777.206 dígitos decimales
1987	Yasumasa Kanada, Yoshiaki Tamura y Yoshlnobu Kubo	134.214.700 decimales
1989	Greaorv V, Chudnovsky y David V. Chudnovskv	1.011.196.691 dígitos decimales
2009	Fabrice Bellard, por medio de supercomputadores	2.699.999.990.000 dígitos decimales

 

6 Pascal dedicó también sus investigaciones a la geometría proyectiva, probabilidad, Física -en concreto el tema de la presión de los fluidos-, fue uno de los fundadores del cálculo, además de literato y teólogo. Profundamente religioso, intentó aunar Fe y Razón.

 

 

 

III. ÁLGEBRA

-   Existen tablillas que evidencian, como ya hemos mencionado (capítulo I), que los babilonios ya resolvían ecuaciones de 1^er y 2^º grado, y sistemas de 2 ecuaciones y 2 incógnitas.

-   Los griegos, como ya hemos visto en el capítulo II, se concentraron básicamente en la Geometría (y la Lógica), y prestaron relativamente escasa atención al Álgebra. Por ejemplo, Euclides en sus Elementos resolvía las ecuaciones de 2º grado geométricamente. Un primer paso hacia el nacimiento de la Aritmética y el Álgebra como materias independientes de la Geometría son los trabajos de Herón, Nicómaco y Diofanto:

         Herón de Alejandría (vivió en algún momento entre el 100 a.C. y el 100 d.C.) resolvió problemas algebraicos mediante procedimientos aritméticos puros, describiendo las operaciones de forma verbal, al estilo de los egipcios y babilonios.

           Nicómaco de Gerasa (circa 100 d.C.) fue el primero en tratar la Aritmética con independencia absoluta de la Geometría; por ejemplo, construye tablas de multiplicar como las actuales. Teón de Esmirna (siglo II d.C.)destaca en la teoría de números. Ambos de la escuela de alejandría.

          Diofanto (s. III d. C.), de la escuela de Alejandría, es considerado el padre del Álgebra¹, ya que fue el iniciador del lenguaje algebraico, al asignar símbolos de su invención a las potencias y abreviaturas a la división, suma, resta, igualdad, etc. Su obra más importante es Arithmetica, que, sin embargo, trata sobre todo la teoría de números. Es una colección de 189 ingeniosos problemas, la mayoría estéticamente muy bellos pero aparentemente inútiles. Resolvía ecuaciones de 1^er y 2º grado. También planteaba las llamadas "ecuaciones diofánticas", es decir, ecuaciones con varias incógnitas y coeficientes enteros, cuyas soluciones tienen que ser enteras. Ahora bien, aceptaba solamente raíces racionales positivas, es decir, rechazaba las soluciones irracionales de las ecuaciones, e incluso las negativas. Esta obra fue dada a conocer en Europa por el alemán Johann Müller (1436-1476), más conocido como “Regiomontano”. Diofanto da muestras de una gran habilidad para reducir ecuaciones de diferentes tipos a formas que pueda manejar. Rechazó la idea de considerar a los irracionales como números.

-   Durante los siguientes mil años, en Europa no se avanza apenas nada en este campo. El testigo lo recogen los hindúes. Por ejemplo, el ya mencionado matemático y astrónomo Brahmagupta (siglo VII d.C.) logró resolver unas cuantas ecuaciones diofánticas y ecuaciones de 2º grado que, por primera vez, incluían soluciones negativas, referidas como “deudas”.

-   Hacia el 800 d.C. en Bagdad se empiezan a traducir obras de los griegos. El término "álgebra" procede de la obra Kitab al-jabr wa almuqabalah (El libro condensado sobre restauración y balances), escrito en 830 en Bagdad por Al-Khwarizmi² (s. IX) (figura izda.), quien, basándose en Brahmagupta, fue el primero en exponer de una forma sistemática las soluciones de la ecuación de 2^ºgrado, pero evita los coeficientes negativos; reconoce que una ecuación cuadrática puede tener dos raíces pero da solamente las que son reales y positivas, que pueden ser irracionales. La palabra “algoritmo”, utilizada hoy en día para describir cualquier método especial para resolver un problema siguiendo una determinada sucesión de pasos, proviene de una distorsión  de su nombre, así como la palabra "guarismo", sinónimo de cifra. También es responsable del término raíz. Por cierto, que evidentemente no utilizaba la notación simbólica actual sino que las ecuaciones estaban escritas con palabras y frases. Al-Jwarizmi fue el primer matemático árabe que construyó tablas de senos. El primer libro que incluyó la solución completa de la ecuación general de 2º grado no apareció en Europa hasta el siglo XII; su autor fue el matemático judeo-español Abraham bar Hiyya Ha-nasi.

Habash al-Hasib, llamado "El Calculador", inventó la tangente. El astrónomo al-Battânî (858-929) utilizó la tangente y la cotangente.

               También en el siglo IX: en Egipto Abu Kamil amplió el campo del álgebra, en concreto con los sistemas de ecuaciones con varias incógnitas. Al-Karagi fue el primero en considerar las cantidades irracionales como números. Al-Farisi establece las bases de la teoría elemental de números, al tratar la descomposición en factores primos. En Bagdad destacan los tres hermanos Banu Musa en geometría, y después, Tabit ibn Qurra y al Nayrizi.

               Al-Battânî (858-929) utilizó la tangente y la cotangente.

               Abu’l-Wefa (940-998), astrónomo y matemático persa, formuló el teorema de los senos para triángulos esféricos, demostró las fórmulas trigonométricas del ángulo doble y el ángulo mitad, construyó tablas trigonométricas y utilizó en sus cálculos las seis funciones trigonométricas principales (introdujo la secante y la cosecante). También calculó áreas (parábola, elipse) y teoría de fracciones.

Al-Bîrunî (973-1048), geógrafo, astrónomo y físico, enunció y demostró el teorema del seno para triángulos planos. También en esa época, Ibn al Haytam (el al Hazen de los occidentales) investiga en teoría de números, geometría, métodos infinitesimales, óptica y astronomía. Ibn al-Jawam se plantea lo que más tarde será la célebre Conjetura de Fermat. Al Karagi estudia los exponentes xⁿ y 1/xⁿ. Al Samaw'al utiliza cantidades negativas, y demuestra la regla x^m · xⁿ = x^m+n. Es uno de los primeros en usar la demostración por inducción, y calcula la suma de los n primeros números enteros, y la suma de sus cuadrados y sus cubos.

El persa Omar Kayyam (1048?-1122) (o al-Jayyam), matemático y gran poeta, consiguió resolver algunas ecuaciones cúbicas mediante ingeniosos métodos geométricos, pero no fue más allá, pues “el espacio no tiene más de tres dimensiones”, y no admitía las raíces negativas. Estableció una clasificación completa de las ecuaciones de 1^er, 2º y 3^er grado. También extendió el campo del álgebra no solo a las ecuaciones, sino también a los polinomios: suma, resta, multiplicación y sobre todo división, al aplicar la división euclidiana de números también a los polinomios. Su continuador fue Sharaf al-Din al-Tusi, que siguió el estudio geométrico de las ecuaciones de tercer grado, lo que le condujo al estudio de curvas. Fue el precursor de las derivadas.

Nasîr-Eddin (1201-1274) (o Nasir al-Din al-Tusi; no confundir con Sharaf al-Din al-Tusi) sistematizó la trigonometría plana y esférica. Abenalbana (s. XIII-XIV), marroquí de familia oriunda de Granada, presenta la Aritmética elemental casi como la conocemos ahora. Al Kashi (s. XV), astrónomo de Samarkanda, es uno de los primeros en adoptar las fracciones decimales que hoy en día utilizamos, en sustitución de las sexagesimales.

Ahora bien, a pesar de su atracción por el Álgebra, vemos que los matemáticos árabes dejaron pendiente la resolución de la ecuación de 3^er y 4º grado.

-   Del mismo modo que los problemas relacionados con las áreas desembocan en ecuaciones de 2º grado, el cálculo de volúmenes como el del cubo conduce a la ecuación de 3^er grado. El hallar una fórmula para la solución de la ecuación general de 3^er grado supuso un reto para los matemáticos europeos hasta el siglo XVI, época en la que se convirtió en un desafío intelectual al margen de sus fines prácticos. El italiano Scipione Del Ferro (1465-1526) encontró en 1515 la solución³ de la ecuación cúbica x³+bx=c, pero no la publicó, si bien se la comunicó a su yerno y a su pupilo Antonio María del Fiore (1499-1557), un mediocre y engreído matemático que, creyendo ser él el único poseedor de la fórmula, desafió en 1535 al brillante Niccoló Fontana, "Tartaglia"⁴ (1499-1557) a una competición matemática –en el siglo XVI eran muy afamadas y corrientes tales disputas intelectuales-. Éste último pudo vencer brillantemente porque había descubierto unos días antes la solución general de la misma ecuación que resolvió Del Ferro, pero también de ax+b=x³ y de x³+ax²=b. Entonces entró en escena Gerolamo Cardano (1501-1576), eminente médico, amante del juego y matemático de vida azarosa,  que consiguió, bajo juramento de no revelarla, que el ingenuo Tartaglia le comunicara en 1539 la fórmula –pero no la demostración-. En un primer momento Cardano no la publicó, a pesar de que su aventajado alumno y secretario (quien profesaba un sincero afecto por su maestro), el no menos brillante Lodovico Ferrari (1522-1565), le ayudó a dar con la demostración, e incluso a resolver la cuártica del tipo x⁴+ax²+c=bx, que transformaba en una cúbica. Pero cuando Cardano se enteró por medio del yerno de Del Ferro de que éste último había descubierto la fórmula de Tartaglia veinte años antes que éste, se consideró liberado de su juramento, y la publicó en su Ars Magna (1545) (figura dcha.) –donde resuelve las ecuaciones de 3^er y 4º grado, considerando además soluciones negativas, irracionales, e incluso vislumbrando las imaginarias–, con el consiguiente enfado de Tartaglia, y una posterior, larga y agria disputa entre ambos. Tartaglia llegó a desafiar a Ferrari matemáticamente y fue derrotado; nunca se recuperó de estos golpes...

   Curiosamente, de no ser por Cardano es posible que las fórmulas de Tartaglia, que este se empeñaba en dejar en secreto, hubiesen desaparecido. Y también es curioso que estas fórmulas llevan el nombre de Cardano, aunque son de Tartaglia. No obstante, Cardano fue más lejos que Tartaglia, ya que las fórmulas de este último solo eran válidas para ciertos casos particulares. Cardano fue el primero en presentar la solución completa de la ecuación de tercer grado. Además, tuvo menos repugnancia a la hora de considerar soluciones negativas. E introdujo cosas como raíces cuadradas de números negativos, aunque con cierta reserva. Esto lo veremos en el capítulo VIII.  

-   El desarrollo de (a+b)ⁿ para n ∈ Z (El llamado Teorema Binomial) ya era conocido por los árabes del siglo XIII. El alemán Michael Stifel (1487-1567) introdujo en 1544 el término coeficiente binomial y mostró cómo hallar (a+b)ⁿ a partir de (a+b)^n-1. El francés Blaise Pascal⁵ (1623-1662) utilizó el triángulo númerico que hoy lleva su nombre -en realidad ya era conocido por Tartaglia, Stifel y Stevin- para obtener los coeficientes binomiales en 1654, y el inglés Isaac Newton (1642-1727) en 1665 mostró cómo calcular directamente (a+b)ⁿ sin pasar por los casos anteriores.

-   Raffaele Bombelli (1526-1572) fue el primero en usar (1572) fracciones continuas para aproximar √; por ejemplo:

     Posteriormente Euler dedujo que todo número racional se puede expresar como una fracción continua finita. Por otra parte, obtuvo resultados como el siguiente:

    También probó que e y e² eran irracionales. E inventó los paréntesis.

-   Albert Girard (1595-1632) intuyó el teorema fundamental del álgebra, pero no lo demostró, al igual que su compatriota Descartes (1596-1650), quien también enunció su regla de los signos: «La cantidad de raíces positivas de P(x)=0 es el número de variaciones del signo de los coeficientes de P(x) o disminuido en ese número en una cantidad par, y de raíces negativas es el número de variaciones del signo de los coeficientes de P(-x) o disminuido en ese número en una cantidad par». También enunció el teorema del factor y el método que prácticamente se utiliza hoy en día para hallar las raíces racionales de una ecuación polinómica.

-   Es precisamente en el Renacimiento cuando se inicia el largo camino hacia la unificación del lenguaje matemático y el simbolismo; hasta entonces en álgebra se usaba un lenguaje retórico a base de abreviaturas (por ejemplo, p -de plus- para "más", m -de minus- para "menos", Aeq -de aequalis- para el "igual", etc.) y, eso sí, numerales arábigos.

    En el siglo XV el francés Nicolás Chuquet ya utilizaba exponentes del estilo de 2⁴. Y cuando la potencia estaba en el denominador, la pasaba al numerador cambiando de signo el exponente.

    El primero en utilizar notación simbólica fue el francés François Vieta⁶ (1540-1603), aunque no plenamente la actual: fue el introductor de ( ), [ ] y { }; también empleaba + y –, que ya utilizaban los matemáticos alemanes⁷ en el siglo XV, pero escribía, por ejemplo, x quadratus en vez del actual x², y no admitía coeficientes ni soluciones negativas. Su intención era ayudar a simplificar la resolución de problemas complejos; de hecho, sostenía que con una buena notación algún día se podría resolver cualquier problema.Antes de él se reemplazaban algunas cantidades por letras, pero él utilizó letras en todo, aunque mayúsculas. Usaba fracciones decimales cuando todavía se utilizaban las sexagesimales. Mejoró los métodos de extracción de y . También obtuvo la fórmula para la suma de los ∞ términos de una progresión geométrica de razón r<1:

    El inglés Robert Recorde (1510-1558) inventó el = en 1557, que tardaría un siglo en imponerse (Vieta usaba ∼ y Descartes α).

    El trazo − para las fracciones también se popularizó en este siglo.

    El alemán Christoph Rudolff (1499-1545) usaba fracciones decimales antes de que Stevin las popularizara, y en 1525 el símbolo moderno √ para las raíces.

    Michael Stifel (1487-1567) popularizó los signos + y – en lugar de p (plus) y m (minus); escribía, por ejemplo, la 4ª potencia de x de la siguiente forma: xxxx

    El ingeniero militar flamenco Simon Stevin (1548-1620) popularizó las fracciones decimales en oposición al antiquísimo e incómodo sistema sexagesimal. Fue uno de los primeros algebristas que aceptó los coeficientes y las raíces negativas. Usaba exponentes fraccionarios para las raíces cuadradas, cúbicas, etc.

    El inglés Thomas Harriot (1560-1621) utilizó por primera vez > y <, y el · para el producto. Fue también uno de los primeros algebristas que aceptó los números negativos.

    Su compatriota el clérigo William Oughtred (1574-1660) introdujo en 1631 x para el producto.

    Descartes, por su parte, comenzó a escribir x² en vez de xx, al igual que x³, x^-1, x^3/2, etc. y popularizó el signo =. Precisamente en el siglo XVII se empezaron a extender las potencias de exponente fraccionario. También usaba el símbolo . Fue el primero en utilizar las primeras letras (minúsculas) del abecedario para cantidades conocidas y las últimas para desconocidas, como en la actualidad.

    El filósofo y matemático alemán Gottfried Leibniz (1646-1716) utilizó en 1673 el término "función" e introdujo las palabras "constante", "variable", "parámetro" y función de x. En 1675 hizo lo propio con el símbolo ∫ para las integrales⁸ (que es, en realidad, una S alargada que indica una suma...), así como dx, dy… para diferenciales; popularizó también · y : para productos y divisiones, y ~ para “semejante a”.

    Michel Rolle, francés, (1652-1719) introdujo  

    Ahora bien, nuestro sistema notacional se debe más al suizo Leonhard Euler (1707-1783) (figura izda.) que a ningún otro: introdujo i para designar la unidad imaginaria (1777), e para la base de los logaritmos neperianos, universalizó (1739) el símbolo π que ya había sido utilizado anteriormente⁹, para sumatorios, f(x) para funciones en 1734, utilizó exponentes imaginarios, las notaciones abreviadas de las seis funciones trigonométricas como las utilizamos hoy, y para los números combinatorios.

    El inglés John Wallis (1616-1703) introdujo el símbolo ∞ para designar el infinito. También, hizo importantes aportaciones al cálculo infinitesimal.

    El francés Christian Kramp (1760-1826) introdujo la notación n! para el factorial de un número.

 El francés André Weil (1906-1998) sugirió la letra danesa Ø para el conjunto vacío.

    Las notaciones que empleamos para las derivadas sucesivas y para la 1ª derivada las debemos al italiano Joseph-Louis de Lagrange (1736-1813), así como para el operador que lleva su nombre.

-   En los siglos XVI y XVII surge una nueva herramienta, los determinantes, para resolver cómodamente sistemas de ecuaciones lineales. Posteriormente, siglo y medio después, se formaliza el concepto de matriz, de la mano sobre todo de matemáticos ingleses. De todo ello hablaremos en el cap. XI.

-   El matemático, astrónomo y físico alemán Johann Carl Friedrich Gauss¹⁰ (1777-1855) presenta su tesis doctoral en 1798, en la que prácticamente demuestra lo que hoy conocemos como «Teorema Fundamental del Álgebra», que afirma que “Toda ecuación polinómica tiene exactamente tantas soluciones, reales o complejas, como indica su grado”. La demostración correcta se debe al suizo Jean-Robert Argand (1768-1822) en 1806. A partir de aquí, los progresos del Álgebra entroncan con el estudio de la teoría de grupos, como veremos en el capítulo X.

 

NOTAS:

1 Diofanto ha pasado a la posteridad más bien por las llamadas ecuaciones diofánticas, que vienen a ser ecuaciones con más de una incógnita. La más célebre se conoce como Teorema de Fermat, de la que hablaremos en el cap. IV.

2 Si bien su obra representa un retraso respecto a la de Diofanto –no representaba con símbolos, sino que escribía todo literal, y no interpretaba las soluciones negativas-, supondrá un punto de partida para el resurgir matemático en Europa –la mencionada obra fue traducida al latín en 1145-.

3 Lo que encontró el genial Del Ferro es que una de las tres soluciones de x³+bx=c viene dada por

4 Tartaglia era un apodo, debido a su tartamudez, provocada por el traumático sitio de su ciudad natal por los franceses durante su niñez.

5 Pascal dedicó también sus investigaciones a la geometría proyectiva, probabilidad, Física -en concreto el tema de la presión de los fluidos-, fue uno de los fundadores del cálculo, además de literato y teólogo. Profundamente religioso, intentó aunar Fe y Razón.

6 Era matemático por afición, pues en realidad era abogado. Estudió a Cardano, Tartaglia, Bombelli, Stevin y Diofanto en sus ratos libres.

7 El sigo + y - nacieron en la práctica comercial. En 1489 un tal Widmann los utilizó para gestionar cajas de mercancías..

8  El primero en utilizar la palabra integral fue Jacques Bernouilli (1654-1705), en 1690.

9  Fue ideado por William Jones (1675-1749) en 1706, que tomó la inicial en griego de las palabras periferia (περιφέρεια) y perímetro (περίμετρον).

10  Llamado "Príncipe de las Matemáticas", enunció las condiciones en las que se podía construir un polígono regular con regla y compás (lo veremos en el cap. IV), formuló el teorema de distribución de los números primos (también lo veremos en el cap. IV), calculó la órbita del asteroide Ceres, predijo puntos esenciales de la geometría no euclídea, y un largo etcétera. Curiosamente, su padre era picapedrero, pero su madre, que reconoció su talento, se empeñó en que estudiara. fue un prodigio desde su infancia. Era bastante huraño y soberbio: apenas atendía a los numerosos colegas que le enviaban sus resultados, y cuando lo hacía era para contestar que estaban equivocados o que aquello que le transmitían ya lo había descubierto él. Gauss ofreció su apoyo a muy pocos matemáticos, salvo a Riemann.

 

   

 

IV. LA TEORÍA DE NÚMEROS

-  Euclides (ca. 325−265 a.C.), en el libro IX de sus Elementos, esboza la primera teoría general de la divisibilidad, habla del MCD e introduce el algoritmo que lleva su nombre para calcularlo, define los números primos, estudia sus propiedades y demuestra que son infinitos¹. También probó el Teorema Fundamental de la Aritmética: «Todo número natural se puede descomponer de manera única como producto de factores primos».

-  Aun admitiendo que son infinitos, desde el primer momento muchos matemáticos han estado obsesionados con la posibilidad de encontrar una sucesión o ley general que permitiera generar todos los números primos, pero hasta la fecha no se ha encontrado. ¿Existirá tal posibilidad? Hoy en día no se sabe...

-  Diofanto (s. III d. C.), en su célebre Aritmética, profundizó en la teoría de números, la cual permaneció estancada más de mil años, hasta que la retomó el enigmático matemático aficionado francés Pierre Fermat² (1601-1655). Se le considera el fundador de la moderna teoría de números –rama de las Matemáticas que estudia las propiedades de los números–. Hasta entonces se consideraba que la teoría de números trataba simples curiosidades sin utilidad, siendo la geometría y el incipiente análisis las especialidades estrella. Fermat ofrecía a todo el mundo sus resultados, pero tenía la mala costumbre de no indicar cómo había llegado a ellos, por lo que nunca sabremos si disponía de las demostraciones³. Por encima de todos ellos destaca el famoso y enigmático «Gran (o Último) Teorema de Fermat»:

“xⁿ+yⁿ=zⁿ (llamada «Ecuación de Fermat») no tiene soluciones enteras para n≥ 3”

   O dicho de otra forma, "No se puede descomponer una potencia en suma de dos potencias del mismo grado excepto para los cuadrados". El conocimiento de la Aritmética de Diofanto -en concreto el problema 8 del libro II- le inspiró para llegar a este resultado en 1637. La mayoría de los teoremas que enunció pero no demostró fueron pulidos por el suizo Leonhard Euler⁴ (1707-1783) y el italo-francés Joseph-Louis de Lagrange (1736-1813), excepto el Gran Teorema, que se resistía⁵: Euler lo demostró para n=3 en 1760; el mismo Fermat lo probó para n=4 en una soberbia demostración, inventando el método de descenso infinito; Dirichlet y Legendre, por separado, hicieron lo propio en 1825 para n=5; Lamé en 1839 para n=7, Kummer en 1850 para n=11, 13, 17, 19, 23.... Todas las cuestiones que Fermat dejó abiertas, o las que habían sido conjeturadas o cuya prueba era incompleta, se habían resuelto a princiipios del siglo XIX. ¡Salvo una! La conjetura de 1637, que se convino en llamar "Último Teorma de Fermat". Finalmente, tras 350 años fue probado mediante una extensísima demostración -la cual le llevó 7 años de titánico trabajo, viviendo prácticamente desconectado del mundo- por el británico Andrew Wiles (n. 1953) (figura izda.) en 1994.

-   El francés Marin Mersenne (1588-1648), sacerdote, teólogo, filósofo y matemático, y amigo de Descartes⁶, conjeturó en 1644 que los números de la forma 2^p−1, donde p puede sustituirse por los números primos 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127..., son primos. Estos primos de Mersenne⁷ (hoy en día se conocen 47; puede consultarse toda la lista en primos de Mersenne) son generados actualmente por ordenador, y algunos son de gran número de cifras. El mayor de ellos hasta 2011, el 47º, es 2^{43 112 609}−1, con 13 millones de cifras.

-   La «Conjetura de Goldbach» es un problema no resuelto hoy en día, formulada en 1742 por el alemán Christian Goldbach (1690-1764), matemático aficionado, a Euler, y reformulada por éste, aunque no pudo demostrarla: “Todo número par (mayor que 2) es suma de dos primos (los cuales pueden repetirse)” ; p.ej. 4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5 o 3+7, etc. Hoy en día, por medio de ordenadores, se ha comprobado que es cierta hasta 10⁸, pero no ha podido ser demostrada hasta la fecha. Por cierto, que fue Goldbach quien llamó la atención de Euler sobre los trabajos de Fermat en la teoría de números.

-   Existen infinidad de conjeturas similares sobre números primos; por ejemplo, el francés Adrien-Marie Legendre (1752-1833) conjeturó en 1808 que "entre dos cuadrados perfectos consecutivos existe siempre al menos un número primo". No ha podido ser demostrado hasta la fecha.

-   Investigando sobre cómo se distribuían los números primos, el alemán Gauss (1777-1855) definió la función π(x) que indica la cantidad de números primos < x, y construyó una tabla para ella. Es lógico que los números primos cada vez vayan escaseando más, pero sabemos que no puede llegar un momento en que no haya primos. Lo que Gauss descubrió es que, aproximadamente:

resultado conocido como «Teorema de los números primos». En realidad, para Gauss era una conjetura que no pudo demostrar y ni siquiera publicó. Fue demostrado cien años después, en 1896, de forma simultánea e independiente por el francés Jacques Hadamard (1865-1963) y el belga Charles Poussin (1866-1962).

- También hará un gran avance Gauss en su juventud al introducir el concepto de números congruentes. Además, fue capaz, superando a Euclides, de construir un heptadecágono regular (polígono regular de 17 lados) con regla y compás. Gauss demostró, con tan sólo 19 años, que «un polígono regular de n lados es construible con regla y compás si y solo si la descomposición en factores primos de n contiene únicamente potencias de 2 y/o números de Fermat distintos entre sí» (un número de Fermat es de la forma , con n∈ IN; por ejemplo, F₀=3, F₁=5, F₂=17, F₃=257 y F₄=65537, todos primos⁸); por tanto, es imposible construir un heptágono (7 lados) o un eneágono (9), o un polígono regular de 11 lados, o 13, 14, 18, 19, 20, 21, 22, 23... Y sí son construibles los de 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 24... lados.

-  Actualmente los números primos son la base de los más sofisticados sistemas que se utilizan para criptografiar la información, por ejemplo para la seguridad de nuestras tarjetas de crédito: si partimos de un número enorme que es un producto de 2 primos enormes, averiguar estos dos divisores es una tarea ímproba....

 

 

  NOTAS:

1 Como curiosidad, el mayor número primo conocido en 2008 era 2^43.112.609-1, que tiene 12.978.189 cifras.

2 En realidad era un prestigioso abogado; las matemáticas le venían por afición. Como Viète, no era un profesional. Se le puede dar el título de "Príncipe de los aficionados". La mayor parte de sus trabajos se transmitió por correspondencia: Mersenne, Pascal, Descartes, etc. Fermat divulgaba sobre la marcha sus hallazgos.

3 Al hilo de un comentario al problema 8 del libro II de la Aritmética de Diofanto, Fermat anotó que había encontrado una prueba maravillosa de la conjetura, pero que no le cabía en el margen... Nunca sabremos si era verdad, pero ello era una práctica suya habitual, ya que sus obligaciones profesionales no le dejaban mucho tiempo... Pero su célebre conjetura, en el conjunto de su obra, no fue lo más importante: también restauró los trabajos de Apolonio de Perga sobre geometría, investigó sobre máximos y mínimos, tangentes de curvas -se le considera precursor, años antes de Leibniz y Newton, del cálculo infinitesimal-, hidrodinámica, refracción de la luz -demostró el "Principio de Fermat", que es la demostración rigurosa de que la velocidad de la luz es diferente en función de la densidad del medio, lo cual conduce a la refracción o ley de Snell-, fue el primero en establecer las bases de la geometría algebraica, antes de que Descartes -con quien, por cierto, mantuvo una larga animadversión por celos profesionales- publicara su "Geometría", y fundó junto con Pascal la teoría de la probabilidad. ¡Y no hacía matemáticas más que en sus horas libres!

4 Por ejemplo, Euler demostró por inducción el «Pequeño Teorema de Fermat»: Si p es un primo cualquiera y a es un número natural cualquiera, de manera que a y p no tienen factores comunes (es decir, son primos entre sí), entonces a^p-a es un múltiplo de p.

   Por ejemplo, 3 es primo y no tiene factores comunes con 8. Por lo tanto, 8³-8=504 es múltiplo de 3. El calificativo "pequeño" fue utilizado por primera vez en 1913. Este teorema se suele utilizar para demostrar que un número muy grande no es primo, sin necesidad de factorizarlo. Veámoslo, no obstante, para un primo pequeño, por ejemplo p=9 y a=2: entonces, 2⁹-2=510 no es múltiplo de 9, lo cual implica que 9 no es primo. Como curiosidad, este teorema es la base para el sistema de protección de nuestras tarjetas de crédito.

5  Se puede probar que basta demostrarlo solamente para n primo y n=4.

6  Mersenne fue uno de los primeros que estimuló la comunicación epistolar entre científicos, manteniendo correspondencia con los más prestigiosos de la época: Descartes, Fermat, Galileo, Hobbes, Huygens, Pascal, Torricelli...

7  En la lista de Mersenne en realidad estaba 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67 y 257, es decir, sobraban los dos últimos, y faltaba alguno intermedio; aún así, tiene gran mérito el trabajo de Mersenne con los medios de cálculo de la época.

8 En 1650 Fermat postuló que dicha fórmula generaba siempre números primos. Pero en 1732 Euler probó que F₅ no era primo, en 1880 el francés Landry hizo lo propio con F₆ -le llevó gran parte de su vida el cálculo...-, y en 1975 Morrison y Brillhart factorizaron F₇. Hasta la fecha no se han encontrado más primos de Fermat, lo que no quiere decir que no haya más; incluso puede haber infinitos....

 

 

V. CURVAS Y COORDENADAS

-   El francés Pierre Fermat (1601-1655) fue el primero en utilizar coordenadas, en su caso oblicuas, lo cual le ayudó a obtener ecuaciones de elipses, hipérbolas, etc. (También son famosas sus investigaciones sobre números, probabilidad y Óptica).

-   El físico, matemático y filósofo francés Descartes (1596-1650), en un extensísimo apéndice, denominado “Geometría”, de su famoso Discurso del método, introduce coordenadas perpendiculares, que le permiten reinterpretar la geometría del plano en términos algebraicos. Crea así la Geometría Analítica, que unifica la Geometría y el Álgebra, y que mediante el mencionado sistema de coordenadas convierte las formas geométricas en ecuaciones, y viceversa. Esto supuso una gran revolución. Descartes, más que la belleza en sí de las matemáticas, buscaba su aspecto práctico, si bien descubrió bellas curvas, como la espiral logarítmica (r=a^θ en polares) o el folium de Descartes (x³+y³-3axy=0).

-   Fermat extendió las ideas de Descartes a tres dimensiones, estudiando elipsoides, paraboloides, etc. Ambos se enzarzaron en una discusión acerca de la prioridad del descubrimiento de la Geometría Analítica, aunque finalmente limaron diferencias, sobre todo debido a la generosidad de Fermat. El principio y el mérito de la Geometría Analítica se encierra en una frase: "La ecuación de una curva permite conocer todas las propiedades de dicha curva". Fermat elaboró su sistema para ofrecer a la vieja geometría las riquezas del álgebra. La geometría, para él, permanecía en el centro del edificio matemático. Para Descartes, al contrario, el álgebra era una ciencia de la magnitud, mucho más general que la geometría, que en adelante sería tratada como una ciencia de puro cálculo.

-   Evangelista Torricelli (1608-1647) estudió la curva exponencial en 1644 y la relacionó con los logaritmos. Posteriormente, William Jones (1675-1749) sistematizó lo que ya antes se intuía: que la función logarítmica era la inversa de la exponencial.

-   El inglés John Wallis¹ (1616-1703) dedujo las ecuaciones de las cónicas en 1655 catalogándolas como curvas de 2º grado en x e y, y probó propiedades de las cónicas mediante ecuaciones. Contribuyó enormememente a popularizar la nueva geometría analítica. Fue el primero en usar abscisas y ordenadas negativas, que hasta entonces no estaban bien vistas (especialmente por Descartes). En 1670 estudió la curva seno.

-   El físico² y matemático holandés Christian Huygens (1629-1695) investigó la tautócrona (del griego tautos, igual, y cronos, tiempo) o isocrona, es decir, la curva tal que un objeto cae por ella invirtiendo siempre el mismo tiempo, indepentemente del punto de partida. Descubrió geométricamente en 1673 (por medio de ecuaciones diferenciales lo haría en 1690 Jacques Bernouilli) que tal curva era una cicloide. Esta curva había sido caracterizada en 1615 por el sacerdote, teólogo, filósofo y matemático francés Marin Mersenne (1588-1648), e incluso antes por el astrónomo, matemático y físico italiano Galileo Galilei (1564-1642) en 1599, como aquella que describe un punto de una circunferencia al girar:

    En efecto, si dejamos caer sendas canicas desde A y B al mismo tiempo llegarán a la vez al punto más bajo:

   El mismo Huygens, en su tratado sobre los relojes, sacó partido a este hecho e inventó un péndulo cicloidal, es decir, que no describe un arco de circunferencia sino de cicloide, por lo que es isocrono, independientemente de la amplitud del mismo. El resultado fueron relojes más precisos. Huygens también obtuvo la longitud del arco de la cisoide y fue el primero en hallar áreas de superficies diferentes en la esfera (paraboloides, hiperboloides, etc.).

- En 1696 Johann Bernouilli (1667-1748) demostró que esta curva es también la braquistócrona (del griego braquistos, el más breve, y cronos, tiempo), es decir, la curva que debe describir un cuerpo para ir de A a B por la acción de la gravedad si queremos que invierta el menor tiempo posible:

- Jakob Bernouilli (1654-1705) introdujo las coordenadas polares en 1691, aunque un poco antes el jesuita belga Grégoire de Saint-Vicent (1584-1667) y el inglés Isaac Newton (1642-1727) las habían esbozado. Jakob introdujo la lemniscata, curva que desempeñaría un gran papel posteriormente. Era vástago de una famosísima familia suiza dedicada a las Matemáticas como afición –la mayoría eran juristas, médicos, etc.- o como profesión, cuyo extenso árbol genealógico se muestra en la figura adjunta:  

 

 

-   El inglés James Gregory (1638-1675) distinguió entre funciones trascendentes (log x, sen x, a^x) y algebraicas en 1667, y dio una primera definición de función. Newton utilizó el término "fluent" -que en español se traduce a veces como "fluyente". En 1673 el alemán Gottfried Leibniz (1646-1716) utilizó el término "función" e introdujo las palabras "constante", "variable", "parámetro" y función de x. La notación f(x) fue introducida por el suizo Leonhard Euler (1707-1783) en 1734, quien definió una función como cualquier expresión formada a partir de una cantidad variable y de constantes. Definió también las funciones de varias variables, distinguía entre funciones explícitas e implícitas, univalentes y multivalentes. Consideraba que las funciones trascendentes (logarítmicas, exponenciales y trigonométricas) estaban dadas por series infinitas, pero no se preocupaba por la validez de dichas expresiones. El concepto de función trajo consigo el nacimiento del cálculo (que veremos en el próximo capítulo) que, junto con la geometría euclídea, es una de las mayores creaciones de las Matemáticas.

 

 

 

 

NOTAS:

1 Wallis, partidario de Cromwell y del Parlamento contra el rey Carlos I, descifró los mensajes secretos que se enviaban los monárquicos. Fue el primer sabio que se atrevió a defender públicamente la tesis de la circulación de la sangre que su compatriota William Harvey acababa de descubrir. Y abrió la primera escuela para sordomudos en Gran Bretaña...

2 Por ejemplo, comparte con Willebrord Snell el honor del descubrimiento de la ley de refracción de la luz; éste la descubrió en 1626 y Descartes en 1637 independientemente, utilizando su Geometría analítica. Por cierto que mantuvo con Fermat una controversia sobre la validez de su demostración.

 

 

 

 

 

VI. CÁLCULO INFINITESIMAL

-   La teoría geocéntrica de Ptolomeo (100-170) estaba expuesta en su famoso Almagesto; en 1530 el monje polaco Nicolás Copérnico (1473-1543) desarrolló su teoría heliocéntrica, que ya había sido intuida por el primer gran astrónomo alejandrino Aristarco de Samos (ca. 310-230 a.C.) dos milenios antes. El alemán Johannes Kepler, astrónomo y matemático, (1571-1630), utilizando las observaciones del astrónomo danés Tycho Brahe (1546-1601), a quien sucedió en el observatorio de Praga, obtuvo empíricamente sus tres leyes del movimiento planetario:

1ª) Las órbitas de los planetas son elípticas, con el Sol en un foco.

2ª) La línea que une un planeta y el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales.

3ª) El cuadrado del período de cada órbita planetaria es directamente proporcional al cubo del semieje mayor.

   Otra curiosidad: la marina inglesa se planteó cuál era la forma óptima de apilar balas de cañón en el reducido espacio de sus barcos. Kepler conjeturó en 1611 que sería formando capas en las que las esferas de una capa superior reposan sobre los huecos de una inferior:

   Este empaquetamiento tiene una densidad próxima al 74%. Esta conjetura la probó Thomas Halles (n. 1958) en 2002 usando superordenadores. Por cierto, ello está relacionado con el problema 18 de Hilbert.

.  Además, a Kepler le obsesionó durante años el problema de hallar las dimensiones de la barrica de vino más económica –es decir, aquella que, para un volumen definido, empleaba menor material-, y ello le sirvió para estudiar el problema de calcular máximos y mínimos de funciones. Publicó, al respecto, Nueva estereometría de las barricas de vino.

- Las observaciones del italiano Galileo Galilei (1564-1642), astrónomo, matemático y físico, quien perfeccionó el telescopio¹ recién inventado, refrendaron la teoría heliocéntrica de Copérnico. Además, geometrizó los problemas relativos al movimiento uniforme: representó la velocidad v(t) en función del tiempo y concluyó que el espacio recorrido era igual al área por debajo de la función v(t). Estudió el movimiento de proyectiles, descomponiéndolo en dos direcciones, horizontal y vertical.

- Su discípulo Bonaventura Cavalieri (1598-1647), sacerdote italiano, se interesó por el cálculo de áreas y volúmenes a base de dividir los objetos continuos en elementos infinitamente pequeños (por ejemplo un sólido en infinitos planos paralelos, o un área en láminas). Este hecho le llevó a enunciar el famoso principio que lleva su nombre: "Si dos cuerpos tienen la misma altura y, además, tienen la misma área en sus secciones planas realizadas a una misma altura, entonces tienen el mismo volumen":

    Con este principio demostró la fórmula del volumen de un cono. También probó, en 1639, en nuestra notación actual:

   , aunque esto ya lo conocía antes el francés Pierre Fermat (1601-1655) . Utilizando un método similar, Gilles Persone de Roberval (1602-1675) había obtenido en 1634 que el área encerrada bajo un arco de cicloide generada por una circunferencia de radio a es 3πa²; también obtuvo el área bajo la curva seno, el centro de gravedad de la cicloide, volúmenes de revolución, etc.

-  Fermat ya en 1629 ideó un método para hallar la tangente a una curva muy similar al actual, a base de incrementos que hace tender a cero, y que también aplica para hallar máximos y mínimos. El inglés Isaac Barrow (1630-1677), maestro de Newton en la cátedra de Cambridge, ideó otro método en 1669.

-  El jesuita belga Grégoire de Saint-Vicent (1584-1667) en 1647 encontró la conexión entre el área encerrada bajo la hipérbola y=1/x y los logaritmos, al igual que Newton en 1665, que obtuvo:

   aunque no explicó cuándo era convergente. Este resultado fue obtenido anteriormente por Gerard Kremer, conocido como Mercator (1512-1594).

-  El inglés John Wallis (1616-1703) definió el límite de una función como un número al que se aproxima la función de modo que la diferencia entre este número y la función puede hacerse menor que cualquier cantidad fijada de antemano.

-   En definitiva, los problemas que estaban subyacentes en aquella época y que supusieron el nacimiento del cálculo infinitesimal fueron los siguientes:

   • El cálculo de la tangente a una curva en un punto: por ejemplo, para el estudio de lentes en óptica.

   • El cálculo de máximos y mínimos de una función: por ejemplo, para el estudio del movimiento de proyectiles en Balística, o de                 cuerpos celestes en Astronomía, o el ya mencionado de las barricas de vino de Kepler.

   • El cálculo del área encerrada por una curva (para superar el incompleto método de exhaución arquimediano).

   • El cálculo de la longitud de una curva (por ejemplo, la distancia recorrida por un planeta), del volumen acotado por una superficie,                 de centros de gravedad de figuras, etc.

   • Dada la fórmula de la distancia recorrida en función del tiempo hallar la velocidad y aceleración en cualquier instante, y viceversa.

 

   Antes de Newton y Leibniz muchos habían advertido relaciones entre los cinco problemas anteriores -Fermat, Barrow, Torricelli, Wallis, etc.-: por ejemplo, se había advertido que el problema del cambio relativo de una función era el inverso del problema del área, pero a nivel geométrico. Newton y Leibniz generalizaron el método y aplicaron la nueva álgebra y la geometría de coordenadas.

   En efecto, el cálculo infinitesimal fue desarrollado a la vez y de manera independiente por el alemán Wilhelm Gottfried Leibniz (1646-1716) y el inglés Isaac Newton² (1642-1727) hacia 1680. Ambos encontraron la importante relación entre el cálculo diferencial e integral. Aunque Newton en esta disciplina llegó mucho más allá que Leibniz, éste inventó una notación superior a aquél: mientras Newton escribía la derivada como y´, Leibniz escribía dy/dx. Desgraciadamente, ambos mantuvieron en sus últimos años una disputa en torno a quién fue el primer descubridor del cálculo, que se hizo extensiva, tras su muerte, a sus discípulos. Actualmente, está claro que a Leibniz le corresponde la primacía de la publicación y a Newton la del descubrimiento.

Ambos descubrieron que las dos direcciones distintas en que los matemáticos habían trabajado hasta entonces, determinación de tangentes y cálculo de áreas, constituían en realidad las dos caras de un mismo fenómeno y se podía pasar de una a otra. El mismo útil era capaz de efectuar acciones tan distintas como calcular la longitud de una curva, determinar el área de una figura, calcular el volumen de un sólido, situar el centro de gravedad de una figura, localizar los máximos y mínimos de una curva, determinar las tangentes, expresar las velocidades y las aceleraciones, etc.. Una especie de útil universal.

- Newton empleó el método de "fluxiones", con el que consiguió calcular tangentes a curvas, áreas y longitudes, y máximos y mínimos y puntos de inflexión. Aparte del cálculo infinitesimal, descubrió la ley de gravitación universal³, el primer telescopio funcional, demostró las leyes del movimiento planetario de Kepler, el teorema binomial⁴, la teoría de errores y el método de aproximación de las raíces de una ecuación que lleva su nombre. También descubrió que la luz blanca está compuesta de todos los colores. Y todo esto en 1665 y 1666, aunque al principio no publicó sus trabajos. Su obra maestra, dedicada a la mecánica celeste, son sus Principia (1687). Por cierto, se considera que los forjadores de la ciencia moderna⁵ son Newton, Descartes, Galileo y Huygens (y, quizá, Copérnico y Kepler).

   Newton extendió la integración término a término a las series. Por ejemplo, obtuvo geométricamente el desarrollo en serie de arc sen x en 1666, y de arc tg x, sen x, cos x, e^x. El inglés James Gregory (1638-1675) había obtenido también los desarrollos de tg x, sec x, etc. en 1670 independientemente, al igual que Leibniz en 1673. También obtuvo la fórmula correcta del radio de curvatura de una curva f(x):

-   Precisamente Leibniz ideó el símbolo "d" (mientras que la palabra integral fue ideada por Jacob Bernouilli). Aunque era doctor en Leyes, sus primeros trabajos fueron sobre combinatoria. Con motivo de una misión diplomática se estableció en París, donde el físico y matemático holandés Christian Huygens (1629-1695) le hizo una puesta al día en las Matemáticas de la época. Inventó los infinitésimos, a los que llamaba diferenciales, dx, dy, etc. Descubrió⁶ en 1674 la serie que lleva su nombre (la cual proviene del desarrollo de arctg x):

Además, fue el primero en utilizar determinantes (aunque el suizo Cramer los reinventó en 1750; de todo ello hablaremos en el cap. XI), y los subíndices a₁₁, a₁₂,… para sistemas de ecuaciones. Hizo también importantes contribuciones a la lógica matemática, los autómatas, el sistema binario y la topología. También era diplomático, filósofo, abogado...

Leibniz se dio cuenta bastante pronto de que la diferenciación y la integración como sumación eran procesos inversos. En 1676 obtuvo que dxⁿ=nx^n-1dx y también:

y utilizaba la regla de la cadena. En 1677 dio las reglas para la diferencial de la suma, diferencia, producto, cociente, potencias y raíces. En 1680 da la fórmula del volumen de un sólido de revolución:

    También obtenía tangentes, máximos, mínimos y puntos de inflexión. Publicó sus descubrimientos en 1684, es decir, antes que Newton. En 1686 obtuvo las diferenciales de la función exponencial y logarítmica. También trató la curvatura y la teoría de envolventes. En 1697 diferenciaba bajo el signo integral. A diferencia de Newton, Leibniz ponía objeciones al desarrollo en serie de funciones. Leibniz y Jean Bernouilli (1667-1748), independientemente, indicaron en 1702 el método de integración por descomposición en fracciones simples. Hasta entonces, el método para integrar funciones algebraicas y trascendentes era representarlas en serie e integrar término a término, técnica que, como ya se ha dicho, fue introducida por Newton. Jacques (1654-1705) y Jean Bernouilli recogieron las ideas de Leibniz y aportaron una cantidad inmensa de nuevos desarrollos.

-   El francés Guillaume F. A. L’Hôpital (1661-1704), alumno de Jean Bernouilli, publicó en 1696 su conocida regla. Después de su muerte, Bernouilli se dedicó a acusarle de plagio.

-   El francés Michel Rolle (1652-1719) enunció en 1691 su famoso teorema, pero no lo demostró.

-   A finales del siglo XVII y principios del XVIII surge la necesidad de mejorar el método de interpolación lineal para tablas matemáticas de cara a la navegación y astronomía. De forma independiente James Gregory en 1670 y Newton en 1676 utilizaron diferencias finitas para obtener la hoy llamada fórmula de Gregory-Newton. En esta fórmula se basó su compatriota Brook Taylor (1685-1731) en 1712 para obtener su fórmula del desarrollo de una función f(x) en series de potencias en el entorno de x=a:

   Parece ser que James Gregory ya conocía este teorema en 1670, que fue descubierto independientemente por Leibniz más tarde, y que Jean Bernouilli publicó un resultado muy similar en 1694. Taylor no se preocupó de la cuestión de la convergencia. El escocés Collin Maclaurin (1698-1746) llevó a cabo en 1742 su método de desarrollo en serie, que es un caso especial del anterior, haciendo a=0.

-   El físico y matemático suizo Leonhard Euler⁷ (1707-1783) en un texto de 1748 usó el término "análisis infinitesimal" para describir el Cálculo, y definió

    y la medida en radianes de los ángulos. Investigando sobre interpolación y la antidiferenciación definió la función gamma:

   Sobre ella profundizarían posteriormente Legendre y Gauss. Euler publicó en 1770 su Cálculo Integral en 3 tomos, del que los actuales textos son sólo ligeras modificaciones, y que de hecho está considerada la obra más importante que se haya escrito sobre el tema.

- La fórmula

.

    válida para n grande, debida al inglés de origen francés Abraham De Moivre (1667-1754), se llama curiosamente aproximación de Stirling, ya que se basa en una fórmula previa debida al escocés James Stirling (1692-1770).

- Johann Heinrich Lambert (1728-1777), colega de Euler y Lagrange, estudió por extenso en 1768 las funciones hiperbólicas.

- Iniciador del estudio moderno de las funciones es el italo-francés Joseph-Louis de Lagrange (1736-1813) (figura dcha.) en 1797, con su obra «Teoría de las Funciones Analíticas», con la que pretende fundamentar el cálculo infinitesimal sobre bases sólidas. Ese mismo año establece el teorema del valor medio del cálculo diferencial:

    Más tarde, al igual que se hace hoy día, lo utilizó para deducir el teorema de Taylor antes mencionado. De hecho, la fórmula del resto R_n que aparece en dicho desarrollo se llama resto de Lagrange.

- En los trabajos de Euler sobre atracción gravitatoria aparecen integrales dobles. Lagrange calculó integrales triples haciendo un cambio de coordenadas esféricas. También Laplace dio este método casi simultáneamente.

- En relación con la integración de funciones irracionales surgieron las integrales elípticas (debido a que están relacionadas con la longitud del arco de elipse), que no se pueden evaluar en términos de funciones algebraicas, circulares, logarítmicas o exponenciales. Sobre ellas investigó Euler, pero su formulación cuasi definitiva se debe al francés Adrien-Marie Legendre (1752-1833). Su trabajo fue completado por Abel y Jacobi, quienes introdujeron las llamadas funciones elípticas.

 

 

NOTAS:

1 El telescopio y el microscopio se inventaron a finales del siglo XVI. Galileo inventó el microscopio de manera independiente. También diseñó el primer reloj de péndulo (desde el siglo XIV se usaban relojes mecánicos, muy imprecisos) a la vez que Huygens y Robert Hooke, basándose en que el período de oscilación sólo depende de la longitud, no de la amplitud. El auge de los viajes marítimos trajo consigo la necesidad de conocer la longitud y de medir el tiempo. Un reloj apropiado para la navegación fue diseñado posteriormente por el inglés John Harrison en 1761.

2 Su madre era un rica viuda de un labrador, pero analfabeta, que se empeñó en que su hijo estudiara; en el colegio no se caracterizó especialmente por sus calificaciones.

3 Muy contestada por Huygens, Leibniz y Johann Bernouilli, que no entendían cómo una fuerza podía actuar a distancia.

4 Es decir, generalizó la fórmula de la potencia del binomio a cualquier exponente real r considerando la serie infinita siguiente:

5 En el siglo XVII y XVIII los grandes matemáticos eran también físicos (Descartes, Huygens, Newton, Pascal, Fermat, Leibniz...). Como, a pesar de la invención de la imprenta, los libros eran escasos y caros, difundían sus descubrimientos mediante cartas. Además llama la atención el escaso papel de las universidades en el avence científico: Pascal, Fermat, Descartes, Huygens y Leibniz jamás dieron clase en universidad alguna. Y, siendo profesionales en otros ramos, aprendieron Matemáticas más bien de forma autodidacta.

6 Lo curioso es que esta serie fue descubierta mucho antes por el indio Madhava (ca. 1350-1425), como vimos en el cap. I. Esta fórmula no es útil para hallar π porque converge muy lentamente: serían necesarios unos 100.000 términos para obtener π con la precisión de Arquímedes...

7 Pasó 8 años en San Petersburgo y 25 en Berlín dando clases. Tenía una memoria impresionante. Innovó en infinidad de campos: cálculo infinitesimal, ecuaciones diferenciales, geometría de curvas y superficies, teoría de números, series, cálculo de variaciones; y en Física creó la mecánica analítica, la mecánica del sólido rígido, Óptica -fue el único en defender la teoría ondulatoria-, dinámica de fluidos, teoría del calor, etc.

 

 

 

 

VII.  LEYES FÍSICAS y ECUACIONES DIFERENCIALES

-   En tiempos de Newton (1642-1727) se planteó el Problema de los 3 cuerpos, que consiste en, conocida la masa de éstos y su posición y velocidad iniciales, encontrar su posición en cualquier instante (piénsese, por ejemplo, en el sistema Sol-Tierra-Luna). Ello equivale a resolver un complejo sistema de 9 ecuaciones diferenciales de 2º orden:

   Hoy en día no se ha podido resolver analíticamente el caso general, para el que se utilizan ordenadores. El caso de los dos cuerpos lo resolvió Newton en sus Principia. El italo-francés Joseph-Louis de Lagrange (1736-1813, uno de los maestros de la mecánica celeste, en su obra Mecánica Analítica (1788) dio brillantemente soluciones particulares del caso general. El francés Pierre-Simon de Laplace¹ (1749-1827) continuó por este camino con su Mecánica Celeste (1799).   

-  Las ecuaciones diferenciales surgen en el siglo XVIII a partir de varios problemas físicos:

  • Elasticidad de vigas, cuerdas, barras, etc.

  • Péndulos, relojes, etc. (Concretamente, la ecuación d²ϑ/dt²+mgsenϑ=0)

  • Astronomía: posición de los planetas, medida de las mareas, etc.

   Ya Newton, Christian Huygens (1629-1695), Gottfried Leibniz (1646-1716) et al. utilizaban ecuaciones diferenciales muy simples. Jacques Bernouilli (1654-1705) fue de los primeros en utilizar el cálculo infinitesimal para resolver ecuaciones diferenciales: como ya vimos en el cap. V, en 1690 encontró la ecuación de la braquistócrona -la curva lo largo de la cual un péndulo tarda el mismo tiempo en efectuar una oscilación completa, independientemente del arco que recorre- y que resultó ser una cicloide. Planteó ese mismo año el problema de la catenaria -nombre debido a Leibniz-: encontrar la curva que adopta un cable flexible de longitud s colgado de sus dos extremos. Su hermano Jean Bernouilli (1667-1748) encontró en 1691, basándose en la ecuación

   donde c depende del peso por unidad de longitud, que tal curva era un coseno hiperbólico (ver figura).

   Leibniz, que también llegó al mismo resultado, ese mismo año descubrió la técnica de separación de variables; en general, sólo resolvía ecuaciones diferenciales de 1^er orden.

    Desde 1694 Leibniz y Jean Bernouilli trabajaban en el problema de encontrar la familia de curvas que cortan a una familia dada con un cierto ángulo, o dicho de otra forma, encontrar las trayectorias ortogonales a una familia dada de curvas. Ambos resolvieron casos particulares y desafiaron a Newton en 1715. Éste lo resolvió rápida y brillantemente. Posteriormente, en 1717, Jacob Hermann (1678-1733), discípulo de Jacques Bernouilli, indicó lo que constituye el método actual, que entraña una ecuación diferencial ordinaria.

   El propio Jean Bernouilli resolvió el problema de determinar el movimiento de un objeto en un medio cuya resistencia es proporcional a una potencia n de la velocidad, cuya ecuación diferencial es:   

  

 -  Las ecuaciones diferenciales de 2º orden aparecen, por ejemplo, cuando Brook Taylor (1685-1731) en 1714 estudia el perfil de una cuerda que vibra, obteniendo una función senoidal. Relacionado con este problema, Jean Bernouilli resolvió en 1728 la ecuación d²y/dx²=-ky. El suizo Leonhard Euler (1707-1783) había iniciado en 1727 el estudio sistemático de las ecuaciones de 2º orden introduciendo la función exponencial.

     Estudiando el problema de las oscilaciones de una cadena verticalmente suspendida, Daniel Bernouilli (1700-1782) resuelve en 1739 una ecuación de 2º orden. Euler abordó posteriormente este problema y lo resolvió de una forma clara. También ese año abordó el problema del oscilador armónico: .

     En 1743 Euler resuelve completamente una ecuación diferencial de orden superior homogénea (es decir, con término independiente nulo) de coeficientes constantes:

   utilizando el método de la ecuación característica. Algo más tarde, en 1751, resolvió la ecuación diferencial ordinaria lineal de orden n no homogénea a base de reducirla por pasos sucesivos a un orden inferior. Lagrange, en 1765, para resolver ecuaciones con coeficientes variables:

     aplica un método similar, basado en el concepto de ecuación adjunta, para reducir sucesivamente el orden de la ecuación.

     Tanto Newton como Leibniz resolvieron ecuaciones diferenciales sencillas utilizando una serie, es decir, suponer que la solución es del tipo y=A₀+A₁x+A₂x²+... mediante el método de los coeficientes indeterminados. Euler a partir de 1750 empleaba el método que todavía hoy se utiliza, consistente en suponer una solución de la forma y=x^λ(A+Bx+Cx²+...)

   Lagrange desarrolló completamente el método de variación de las constantes de integración -ya empleado anteriormente por Newton, Jean Bernouilli o Euler- para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. También ideó el método de los multiplicadores que lleva su nombre para reducir el orden de una ecuación diferencial, aunque no es general. Desarrolló primero la teoría general de las ecuaciones diferenciales de primer orden no lineales en 1772. En 1779 dio su método para resolver las lineales, reduciendo a un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias. El método se suele llamar de Lagrange-Charpit porque el francés Paul Charpit (m. 1784) en 1784 puso en orden las ideas de Lagrange, o también "Método de las características de Cauchy" porque éste generalizó a n variables el método de Lagrange.

   En resumen, a mediados del siglo XVIII las ecuaciones diferenciales se convierten en una disciplina independiente.

-  Aunque Newton, Jacques y Nicolaus Bernouilli (1687-1759) ya plantearon derivadas parciales, fueron el suizo Leonhard Euler (1707-1783) y los franceses Alexis Fontaine des Bertins (1705-1771), Alexis Claude Clairaut (1713-1765) y Jean le Rond D’Alembert (1717-1783) quienes crearon la teoría de las ecuaciones en derivadas parciales. Clairaut obtuvo en 1739 la condición necesaria y suficiente para que la expresión dz=p(x,y)dx+q(x,y)dy sea una diferencial exacta; Euler, independientemente, había llegado en 1734 a lo mismo, y había avanzado algún resultado más. Si la ecuación es exacta entonces, como señalaron ambos, se puede integrar. Si una ecuación de 1^er orden no es exacta, a veces se puede multiplicar por un factor integrante que la convierte en exacta. Ambos desarrollaron independientemente esta teoría; hacia 1740 se conocían todos los métodos elementales para resolver ecuaciones de 1^er orden.

     D’Alembert en 1746, estudiando una cuerda vibrante, llegó a su famosa ecuación de ondas:

donde y=y(x,t) es la forma de la cuerda en el instante t, y a=cte. Para resolverla introduce el importante método de separación de variables para resolver ecuaciones en derivadas parciales.

En 1799 Laplace resolvió brillantemente su célebre ecuación en derivadas parciales, relacionada con el problema de conocer la atracción gravitatoria ejercida por una distribución de masa:

donde V(x,y,z) es el potencial en el punto (x,y,z), una función cuyas tres derivadas parciales son respectivamente las tres componentes de la fuerza ejercida, idea tomada de Euler y Daniel Bernouilli².

A comienzos del XIX el francés Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) llegó a su no menos famosa ecuación del calor en derivadas parciales, que para el caso de una dimensión (es decir, una varilla), toma la forma:

siendo T(x,t) la temperatura de la varilla en la posición x e instante t, y a=cte.     

-  Los sistemas de ecuaciones en derivadas parciales surgieron en el siglo XVIII en relación con varios problemas de dinámica de fluidos (por ejemplo, diseño óptimo de cascos de buques). En 1755 Euler formuló las célebres ecuaciones del movimiento de un fluido perfecto, es decir, no viscoso. Posteriormente investigaron los franceses Simon Denis Poisson (1781-1840), Claude Louis Navier (1785-1836) y el irlandés Sir George Stokes (1819-1903) en la 1ª mitad del XIX. Los dos últimos son los autores de las ecuaciones de Navier-Stokes, que sí tienen en cuenta la viscosidad, y que, expresadas en lenguaje vectorial, son:

    Hasta ahora permanecen irresolubles. No se sabe siquiera si hay posibilidad de hallar soluciones exactas y deducibles (soluciones aproximadas sí las hay, mediante computadoras...). Se trata del 6º desafío del milenio del Instituto Clay.

-   Utilizando “coordenadas generalizadas”, es decir, varias dimensiones relacionadas con los grados de libertad de un sólido, Lagrange reescribió las ecuaciones newtonianas del movimiento en términos de una nueva magnitud, llamada “lagrangiano”. El irlandés William Rowan Hamilton (1805-1865), por su parte, mejoró estas ideas de acuerdo con una nueva magnitud, el “hamiltoniano”, que puede interpretarse en términos de energía. Por cierto, a éste último se debe el concepto de vector, si bien el francés Pierre Varignon (1654-1722) e incluso antes el holandés Simon Stevin (1548-1620) ya habían inventado el paralelogramo de fuerzas.

 

 

NOTAS:

1 También trabajó en Probabilidad, Hidrodinámica, Química, etc. Laplace era más físico que matemático: para él la matemática era un fin, no un medio.

2 Este último la había resuelto de forma diferente en 1753, entrando en disputa con Euler y D'Alembert; la esencia del problema era que Bernouilli, a diferencia de los otros dos, sostenía que toda función era representable mediante una serie de funciones trigonométricas, cuestión que no se aclaró hasta que Fourier no se ocupó de ella. Incluso Euler y D'Alembert diferían entre sí. En 1759 entró en la disputa Lagrange alineándose con Euler, aunque utilizando argumentos erróneos. En 1779 se sumó Laplace al lado de D'Alembert y contra Euler y Bernouilli. Este último fue quien mantuvo la postura correcta, aunque no la justificó matemáticamente.

 

 

 

 

VIII. NÚMEROS COMPLEJOS

-   La unidad imaginaria fue intuida por los matemáticos italianos renacentistas Gerolamo Cardano (1501-1576), Raffaele Bombelli (1526-1572) et al., al tratar de resolver ecuaciones del tipo x²+1=0, es decir, carentes de solución en el campo real. Operaron con este tipo de entes "ficticios", aplicándoles las mismas reglas habituales, pero guardándose bien de darles una definición. En el siglo XVII, a las Ö de números negativos se les denominaba “números imaginarios”, término acuñado por Descartes. Por cierto, la letra i para designar la unidad imaginaria se debe al suizo Leonhard Euler (1707-1783), en 1777.

-   En 1673 el inglés John Wallis (1616-1703) fue el primero en idear el plano complejo, que fue redescubierto independientemente por el noruego Caspar Wessel (1745-1818) en 1797 y por el matemático, astrónomo y físico alemán Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) en 1811, quien también vio que las n raíces de la ecuación xⁿ−1=0 formaban un polígono regular de n lados. Precisamente Gauss inventó el adjetivo de números "complejos". Los números que se habían utilizado hasta entonces se llamaron, por oposición, "reales".

-   Tanto Leibniz (1646-1716) como Jean Bernouilli (1667-1748), a la hora de integrar, planteaban el logaritmo de un número complejo. En 1714 Roger Cotes (1682-1716) obtuvo la siguiente fórmula:

       Euler, en 1743, obtuvo independientemente:

    Evidentemente, ambas fórmulas son equivalentes.

-   El inglés de origen francés Abraham De Moivre (1667-1754) obtuvo la fórmula que lleva su nombre, aunque su formulación actual se debe a Euler:

-   El francés Augustin-Louis Cauchy¹ (1789-1857) desarrolló formalmente el análisis complejo, ya intuido por Gauss. El alemán Bernhard Riemann (1826-1866) también utilizó funciones complejas, es decir, funciones f(z) cuya variable z es un complejo.

-   La primera aplicación práctica de los números complejos se debe al germano-americano Charles Steinmetz (1865-1923), para cálculos en corriente alterna, en concreto para la inductancia de una bobina y la capacitancia de un condensador.

   

NOTAS:

1 Hombre profundamente religioso, alguna vez fue vergonzosamente discriminado por sus colegas científicos debido a sus convicciones a la hora de optar a algún puesto académico, siendo injustamente postergado por matemáticos de menor valía.

 

 

IX. FUNDAMENTACIÓN DEL ANÁLISIS y SERIES

-   El inglés John Wallis (1616-1703) fue quien más hizo antes que Newton y Leibniz por introducir métodos analíticos en el cálculo. Hizo importantes aportaciones en el terreno de las series, y concretamente en el de los productos infinitos; por ejemplo, fue el artífice de la siguiente fórmula -llamada producto de Wallis-, al intentar calcular el área del círculo analíticamente::

-   Los hermanos Johann (1667-1748) y Jacob Bernouilli (1654-1705) estudiaron la serie armónica¹ a finales del s. XVII:

demostrando, cada uno de forma independiente, que era divergente, es decir, su resultado se va al infinito (aunque lentamente...). Ambos trabajaban con las series por procedimientos a veces poco rigurosos. Por cierto, este resultado ya había sido obtenido por Nicolás Oresme (ca. 1323-1382), obispo francés, hacia 1360. Ahora bien, en el caso de la serie:

sólo pudieron probar que era convergente (el llamado "Problema de Basilea", ciudad suiza cuna de los Bernouilli y de Euler), aunque muy lentamente, pero todos sus esfuerzos para dar con su valor no dieron fruto, hasta que 30 años después el joven matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783) probó brillantemente que:

      Podemos decir que Euler fue un gran manipulador que señaló el camino para multitud de resultados establecidos más tarde rigurosamente. Las series, como ya se ha dicho en capítulos anteriores, se usaban desde los tiempos de Newton para integración, sin preocuparse de su validez, dominando el pragmatismo. Los términos "convergente" y "divergente" fueron empleados por primera vez en 1668 para series por el inglés James Gregory (1638-1675). El alemán Gottfried Leibniz (1646-1716) en 1713 dio el criterio de convergencia que hoy lleva su nombre: «Una serie cuyos términos alternan de signo y decrecen en valor absoluto monótonamente hacia cero es convergente». El escocés Collin MacLaurin (1698-1746) en 1742 descubrió el criterio integral de convergencia de una serie que posteriormente redescubriría Cauchy. El francés Jean le Rond D’Alembert (1717-1783), en el artículo "Series" de la famosa Enciclopedia, enunció el criterio que lleva su nombre para la convergencia de series de términos positivos. Y Edward Waring (1734-1798), sucesor de Newton en Cambridge, dio el criterio llamado "del cociente", erróneamente atribuido a Cauchy.

-  Las series trigonométricas surgen en el siglo XVIII a partir de dos campos: la interpolación -en Astronomía, para determinar las posiciones intermedias de los planetas- y las ecuaciones en derivadas parciales. Euler en 1751, D’Alembert en 1754 o su compatriota Alexis Claude Clairaut (1713-1765) en 1757, llegan a expresar una función en serie trigonométrica mediante un resultado que es formalmente idéntico a lo que posteriormente se conocería como desarrollo de Fourier. Y es que fue precisamente el francés Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), en su estudio de la propagación del calor, quien desarrolló cualquier función como una serie infinita de senos y cosenos.

-   El alemán Peter Gustav Dirichlet (1805-1859), poniendo como ejemplo su famosa función:

discontinua en todo punto, introdujo la definición moderna de función.

-   El primero en intentar formalizar los distintos conceptos del cálculo fue Bernard Bolzano, sacerdote bohemio-alemán (1781-1848) (figura sup.), que definió el concepto de continuidad, siendo para ello el iniciador de los δ y ε. Aunque el primero en utilizarlos de forma práctica fue Augustin Louis Cauchy (1789-1857).

-   El alemán Weierstrass (1815-1897) definió el concepto de límite de una función de la manera precisa que conocemos hoy, investigó en series de potencias y definió:

Además, fue quien más esfuerzos hizo por poner orden en el concepto de convergencia de series. Por ejemplo, en la serie 1+x+x²+x³+x⁴+… cuya suma es fácil probar que es , Euler había hecho x=−1, llegando a un absurdo: 1-1+1-1+…=1/2. Weierstrass advirtió que la serie no converge a menos que -1<x<1. Junto con los también alemanes Heinrich Heine (1821-1881), Georg Cantor (1845-1918) y Julius Dedekind (1831-1916), investigó sobre la idea de función y la noción de número real.

-   El alemán Bernhard Riemann² (1826-1866), discípulo de Gauss, dio las condiciones para que una función acotada sea integrable, y desarrolló su concepto de integral. El francés Henri Lebesgue (1875-1941) reformuló en 1902 la teoría de la integración utilizando la noción de medida de su compatriota Émile Borel (1871-1956).

-   En 1873 el francés Charles Hermite (1822-1901) demostró que el número e era trascendente, es decir, que no es raíz de ninguna ecuación de coeficientes racionales. (El propio Euler había fracasado anteriormente en el intento). En 1882 el alemán Ferdinand Von Lindemann (1852-1939) hizo lo propio con π, como vimos en el cap. II. Y es un hecho que la trascendentalidad de π implica la imposibilidad de la cuadratura del círculo. Y si es trascendente, no es construible -es decir, no se puede obtener mediante regla y compás-. Se ha demostrado que son trascendentes e, π, e^π, 2^√2, iⁱ, sen 1, ln 2 o ln 3 / ln 2, pero no se sabe si lo son e^e, π^π o π^e. Cantor demostró la existencia de ∞ números trascendentes.

 

 

NOTAS:

1 Una serie se llama armónica cuando los recíprocos de sus términos están en progresión aritmética.

2 En 1859 formuló su famosa conjetura sobre la distribución de los ceros de la función compleja zeta que lleva su nombre:

   Por su relación con la distribución de los números primos en el conjunto de los números naturales, es uno de los problemas abiertos más importantes en la matemática actual, si no el primero. La mayoría de la comunidad matemática piensa que es cierta. Es el 8º problema de Hilbert y el único de su lista que ha sido incluido por el instituto Clay de Matemáticas entre los 7 problemas del milenio, por lo que ha ofrecido un premio de un millón de dolares para la primera persona que la demuestre. Este instituto fue creado en 1998 por un millonario y filántropo americano del mismo nombre.

 

 

X. TEORÍA DE GRUPOS

-   Recordemos que (capítulo III) al finalizar el siglo XVIII sólo se contaba con fórmulas para resolver algebraicamente las ecuaciones hasta grado 4 inclusive. Durante casi tres siglos se había estado buscando infructuosamente una fórmula para resolver por radicales, por ejemplo, la ecuación general de 5º grado. El propio Euler estaba convencido de que la fórmula existía, y lo había intentado, infructuosamente, claro está. El italiano Paolo Ruffini (1765-1822) prácticamente demostró en 1799 que era imposible la solución algebraica de ecuaciones de grado 5 o superior. El noruego Niels Henrik Abel (1802-1829) completó las lagunas en 1824. Él, y posteriormente Galois, se basaron en un trabajo de 1770 de Lagrange en el que estudiaba la resolubilidad de ecuaciones en términos de las permutaciones de sus raíces.

-   Los matemáticos en esta época comenzaron a vislumbrar que, allí donde existía simetría, había lo que se dio en llamar un grupo¹. En efecto, la teoría de grupos, que tantos frutos iba a dar en el futuro, surgió de forma casual, a partir de la búsqueda de la hipotética solución de la ecuación de 5º grado por el joven francés Evariste Galois (1811-1832) (figura izda.). Este joven  matemático –murió a los 21 años en un estúpido duelo con pistolas, antes de poder desarrollar completamente sus ideas²- llegó al mismo resultado que Abel, pero inventando de la nada una nueva rama de las Matemáticas, en un golpe de genialidad creativa (similar al caso de Newton con su Ley de la Gravedad, o de Einstein con la Teoría de la Relatividad General): la teoría de grupos³, que nació del estudio de las permutaciones. En efecto, a cada ecuación se le puede asociar un conjunto de permutaciones entre sus raíces, el cual forma un grupo, llamado "Grupo de Galois". Una propiedad algebraica de los grupos es su solubilidad. Galois probó que una ecuación era resoluble algebraicamente si y solo si su grupo de Galois era soluble. Como para las ecuaciones de grado ≥ 5 sus grupos de Galois pueden no ser solubles, son irresolubles. Posteriormente, esta teoría fue desarrollada por su compatriota Camille Jordan (1838-1922) y por el inglés Arthur Cayley (1821-1895) a finales del XIX.

-   Las ideas de Galois conducirán, a través de la obra de los alemanes Ernst Kummer (1810-1893), Leopold Kronecker (1823-1891) y Julius Dedekind (1831-1916), hacia el estudio de las estructuras algebraicas abstractas, pues los tres investigaron en la teoría de cuerpos⁴ y en la noción de ideal de un anillo⁵.

-   El alemán Félix Klein (1849-1925) y el noruego Sophus Lie (1842-1899) investigaron sobre teoría de grupos y su relación con la Geometría, siendo responsables del revolucionario reconocimiento de que la Geometría, la simetría y la teoría de grupos están unidas, y que, en muchos aspectos, la Geometría es teoría de grupos. En efecto, en la 2ª mitad del s. XIX emerge un  nuevo tipo de Álgebra en la que los objetos de estudio no son números sino nuevas estructuras: grupos de Lie, anillos, campos, álgebras (por ejemplo, de Lie)…

-   En esta época se supera la geometría euclidiana, es decir, la geometría del espacio plano (figura izquierda), en la que las paralelas nunca se encuentran y los ángulos de cualquier triángulo siempre suman 180º:

 

Son de reseñar los intentos por buscar alternativas a la geometría de Euclides, ya que siempre se pensó que el famoso 5ª postulado (el de las paralelas) podría ser más bien un teorema deducible de los otros axiomas⁶ (hoy día sabemos que esto no es posible⁷). Estos axiomas son:

1. Dos puntos determinan una única recta.

2. Todo segmento de recta puede prolongarse en cualquier dirección.

3. Es posible construir un círculo dados su centro y su radio.

4. Todos los ángulos rectos son iguales.

5. Dada una recta y un punto exterior a ella, hay una única recta que es paralela a la recta dada y que pasa por el punto.

El 5º postulado, el de las paralelas, no ha cesado de atormentar a los matemáticos desde que Euclides lo enunció. Su enunciado parece más el de un teorema, y es además el recíproco de un teorema. Pero no se puede prescindir de él. Constantemente se le ha querido rebajar a la categoría de teorema, intentando deducirlo de los otros axiomas o postulados, sin éxito..

En el siglo XIX se construyeron, prescindiendo del 5º postulado, geometrías coherentes. Por ejemplo, en una superficie con forma de silla de montar (figura derecha), la suma de los triángulos siempre es⁸ menor que 180º; se trata de la geometría hiperbólica, ideada por el húngaro János Bolyai (1802-1860), el alemán Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) y el ruso Nikolái Lobachevsky (1792-1856) separadamente en la década de los 20 del siglo XIX. Finalmente, el alemán Bernhard Riemann (1826-1866) desarrolló en 1854 la geometría elíptica; como caso particular de ella, en una esfera (figura central), la suma de los ángulos de un triángulo excede los 180º.

-   Una nueva teoría nace a finales del XIX, y se trata de la geometría de las formas que pueden ser deformadas y qué propiedades o aspectos cualitativos (conectividad, agujeros, nudos…) podrían ser invariantes ante transformaciones topológicas. En efecto, la Topología es la rama de las Matemáticas que estudia las propiedades espaciales de los objetos que permanecen invariantes bajo determinadas deformaciones. Fue desarrollada por los alemanes August Möbius (1790-1868), Riemann, Felix Klein (1849-1925) y el francés Henri⁹ Poincaré (1854-1912) (autor de la famosa conjetura, en 1912, resuelta a comienzos del siglo XXI por el ruso Grigori Perelman (1966-  ), y que era el 3^er problema del milenio), y tiene hoy en día aplicación práctica, por ejemplo en el estudio de la molécula de ADN.

-  A primera vista, estas geometrías no euclidianas parecían invenciones ingeniosas pero estériles. Sin embargo, las ecuaciones de Einstein que a principios del siglo XX describían la curvatura del espacio-tiempo exigieron inesperadamente esta clase de geometrías. En efecto, la geometría no euclídea de Riemann y el cálculo tensorial sirvieron al alemán Albert Einstein (1879-1955) para formular el espacio-tiempo dentro de su Teoría de la Relatividad General (1915).

 

 

NOTAS:

1 Un grupo es una estructura matemática formada por un conjunto de elementos y una operación –llamada ley de composición interna-, la cual verifica tres determinadas propiedades, que enunciaremos a continuación. Por ejemplo, el conjunto de los números enteros, Z, con la suma, es decir {Z,+}, forman un grupo, porque verifican:

    La ley de composición es interna: si a y b pertenecen a Z, entonces a + b ∈ Z. Esta ley verifica:

    1º) Propiedad asociativa: si a, b y c pertenecen a Z, entonces (a + b) + c = a + (b + c)

2º) Existencia de elemento neutro: Todo elemento a ∈ Z tiene su elemento neutro, de forma que a + 0 = a

3º) Existencia de elemento opuesto: Todo elemento a ∈ Z tiene su elemento opuesto -a, tal que a + (-a) = 0

Si además verifica la propiedad conmutativa, se llama grupo abeliano.

2  Galois invirtió las horas previas a su muerte en anotar febrilmente sus descubrimientos para que los leyesen Gauss o Jacobi, pero todo ello se perdió hasta que fue recuperado por Joseph Liouville (1809-1882) -el cual quedó asombrado- y publicados en 1846. Galois era un adelantado para su tiempo,y su tragedia fue producir demostraciones para las que no encontró a nadie que pudiera advertir su importancia.

3  El concepto de grupo inventado por Galois supuso a partir de entonces una nueva manera de hacer matemáticas. Se va a empezar a tratar, no con números ni funciones, sino con "estructuras". Es decir, objetos no tomados en su singularidad, sino en su conjunto, y relacionados por lazos que estructuran estos conjuntos. La estructura de grupo inventada por Galois se convertirá en el objeto-rey del álgebra del siglo XX.

4 Un cuerpo es un conjunto dotado de unas operaciones de adición y multiplicación que verifican:

1º) Dicho conjunto es un grupo abeliano respecto a la adición.

2º) Dicho conjunto (excluido el 0 o elemento neutro de la adición) es un grupo respecto a la multiplicación.

3º) La multiplicación es distributiva respecto de la adición por ambos lados.

5 Un anillo es todo conjunto provisto de una estructura algebraica definida por dos leyes de composición interna:

1º) Un grupo conmutativo, respecto a la adición.

2º) Designada multiplicativamente, es asociativa y distributiva respecto a la 1ª.

   Por ejemplo, con la adición y la multiplicación, Z, Q, IR y C son anillos.

6 Axioma o postulado es una proposición evidente por sí misma, es decir, que no necesita demostración.

7 Sí es cierto que este axioma es equivalente a decir que en un triángulo plano la suma de sus ángulos es 180º.

8  O bien, que por un punto exterior a una recta se puede trazar más de una paralela.

9  No confundir con su primo, el primer ministro Raymond. Henri Poincaré fue un notable hombre de ciencia, pues también hizo importantes contribuciones a la Física. Fue el último en tener un conocimiento profundo de todos los ámbitos matemáticos de la época. Y en 1909 resolvió el problema 22º de Hilbert.

 

 

XI. ÁLGEBRA MATRICIAL

-   Aunque siempre se habían utilizado “cajas” para ordenar datos, el estudio sistemático de matrices lo llevaron a cabo matemáticos ingleses en la 2ª mitad del siglo XIX, en estrecha relación con la Geometría: fue James Joseph Sylvester (1814-1897) quien utilizó por primera vez el término “matriz” en 1848-1850. En 1853, SirWilliam Rowan Hamilton (1805-1865) hizo importantes aportaciones a la teoría de matrices. Por su parte, Arthur Cayley (1821-1895) introdujo en 1858 la notación matricial, como forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.

-   En su sentido original, el determinante determina –de ahí su nombre– la unicidad de la solución de un sistema de ecuaciones lineales, y fue introducido en este sentido para el caso de orden 2 por el italiano Gerolamo Cardano (1501-1576) en 1545 como una regla para la resolución de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. El alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) hizo lo propio en 1693 en relación con los sistemas de ecuaciones lineales de mayor orden. Por lo tanto, los determinantes surgen siglos antes que las matrices: como ha quedado dicho arriba, Sylvester fue quien utilizó por primera vez el término “matriz”, dando a entender que la matriz era “la madre de los determinantes”.
Las contribuciones más prolíficas a la teoría de los determinantes fueron las del matemático francés Agustin-Louis Cauchy (1789-1857) (fig. dcha.), quien, por ejemplo, demostró por primera vez que el determinante del producto de matrices es el producto de sus determinantes. Además, utilizó por primera vez el término «determinante», en 1801. El desarrollo de un determinante por cofactores fue empleado por primera vez por el matemático francés Pierre de Laplace (1749-1827) en 1772. Por su parte, Cayley es el inventor de la notación actual de los determinantes mediante barras (1841) y establece la fórmula para el cálculo de la inversa de una matriz mediante determinantes (1858).

-   Como ya se ha dicho, los determinantes surgen en el siglo XVI-XVII como herramienta para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. En 1748, en un tratado póstumo de álgebra del escocés Collin MacLaurin (1698-1746) aparece la regla para obtener la solución de un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas cuando n es 2, 3 o 4 mediante el uso de determinantes. En 1750, el suizo Gabriel Cramer (1704-1752) da la regla para el caso general, aunque no ofrece demostración alguna.  En 1875 el francés Eugène Rouché (1832-1910) enunció el famoso teorema sobre la existencia de soluciones de un SS.EE.LL. Posteriormente, varios matemáticos se disputaron su demostración, aunque fue el alemán Ferdinand Georg Frobenius (1849-1917) quien completó su enunciado y demostración, zanjando el tema.

 

 

 

XII. GEOMETRÍA MULTIDIMENSIONAL

-   En 1837 el irlandés William Rowan Hamilton (1805-1865) inventa los cuaterniones: objetos de 4 dimensiones –p. ej. 1+2i-3j+k-, sin utilidad real.

-   Hacia finales del XIX el norteamericano Josiah Gibbs (1839-1903) y el inglés Oliver Heaviside (1850-1925) separadamente formalizan el concepto de vector de 3 dimensiones, (x,y,z).

-   El alemán Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) había obtenido una fórmula que representaba la curvatura de una superficie intrínsecamente. El alemán Bernhard Riemann (1826-1866) generalizó esto a n dimensiones, estableciendo la llamada geometría diferencial. Fue por tanto el primero en no poner restricciones al número de dimensiones.

-   El inglés Arthur Cailey (1821-1895) introdujo en 1855 el álgebra de matrices para tratar n-tuplas, utilizando como herramienta los determinantes. Muy pronto, la extensión del concepto de vector va a originar la noción de tensor.

-   En 1908 el ruso-germano Hermann Minkowski (1864-1909) concibió un espacio tetradimensional en el que la 4ª dimensión estaba relacionada con el tiempo. Posteriormente, la relatividad general de Einstein incorpora (como ya vimos en el capítulo anterior) el papel de la gravedad, que produce una curvatura en el espacio-tiempo. Los físicos que actualmente trabajan en las supercuerdas piensan que nuestro universo realmente puede tener 10 dimensiones.

 

 

 

 

XIII. FUNDAMENTACIÓN LÓGICA DE LAS MATEMÁTICAS

-   El alemán Georg Cantor (1845-1918), a partir de 1872, elaboró la teoría de conjuntos, esbozada por Bolzano. Por esos años este insigne matemático se planteó el problema de la existencia de los números racionales, y posteriormente, en 1883, desarrolló el concepto de número real (de hecho, este adjetivo es invención suya).

   Definió  ℵ₀ (Aleph-cero) como el cardinal¹ de IN, y demostró que también lo es de los pares o de los impares o de los enteros, Z, o incluso de los racionales, Q. Por ejemplo, IN y el conjunto de los pares tienen el mismo cardinal porque son coordinables, es decir, pueden ponerse en correspondencia sus elementos uno a uno (lo que se conoce como aplicación biyectiva):

0 ←→ 0           4 ←→ 8

1 ←→ 2           5 ←→ 10

2 ←→ 4           etc.

3 ←→ 6

Es decir, hay tantos números naturales como números pares, en contra de nuestra intuición. Mediante un razonamiento similar se demuestra que IN y Z tienen el mismo número de elementos: basta hacer corresponder uno a uno a los números positivos con los pares y a los negativos con los impares. Pero donde Cantor es realmente brillante y genial es al demostrar que IN y Q son coordinables, mediante un brillante y sencillo esquema:

Es decir, Cantor establece la siguiente biyección:

¡Sorprendente, pues IN es discreto y Q es continuo! Todo esto puede verse muy bien en

http://euclides59.wordpress.com/2013/01/09/los-numeros-transfinito-hablemos-del-infinito-parte-ii/

En resumen, el cardinal ℵ₀ numera los conjuntos que pueden coordinarse con IN y es el menor de los cardinales de conjuntos infinitos (de ahí el subíndice 0). Estos cardinales de conjuntos infinitos se llaman cardinales transfinitos. Los conjuntos coordinables con IN se llaman numerables, es decir, conjuntos de cardinal ℵ₀.

   También probó que IR no es numerable (y, por tanto, también los irracionales), y que card IR>ℵ₀. Al card IR lo llamó ℵ₁ . En realidad ℵ₁ es el número de puntos que hay en un segmento cualquiera de recta, es decir, dos segmentos, independientemente de sus tamaños, tienen el mismo número de puntos. La demostración de este sorprendente hecho ya era conocida por los griegos:

   Dados los segmentos a y b, unimos sus extremos mediante dos rectas c y d que se cortarán en E; entonces, dado un punto F de b lo unimos mediante una recta con E, obteniendo su punto imagen G en a. De esta forma, a cada punto de a corresponderá otro de b y viceversa. En realidad Cantor fue más allá y demostró que el número de puntos contenidos en un cuadrado es también ℵ₁, y lo mismo en un cubo. es decir, ¡en un segmento cualquiera hay tantos puntos como en todo el Universo! En realidad ℵ₁ es el número de puntos de cualquier hiperespacio... Dicho de otra forma, card IR=card IR²=card IR³=...=card IRⁿ=ℵ₁

   ¿Existirá un conjunto numérico más grande que Q pero más pequeño que IR, es decir, cuyo cardinal esté comprendido entre ℵ₀ y ℵ₁? Cantor sostenía que no. Esto último se conoce como Hipótesis del continuo,² de la cual buscó infructuosamente una demostración.

-   El alemán Julius Dedekind (1831-1916), afín a Cantor³, formalizó en 1888 la existencia de los números reales, IR, en términos de las llamadas «Cortaduras de Dedekind», es decir, en términos de los números racionales, Q. Y es que, hasta esa época, el número racional no había sido definido axiomáticamente.

-   En 1889 el italiano Giuseppe Peano (1858-1932) formalizó la existencia de los números naturales, IN, por medio de sus famosos axiomas. Por la misma época, el alemán Gottlob Frege (1848-1925) hizo lo propio mediante clases de equivalencia. Peano dio además en 1888 la definición de espacio vectorial sobre el cuerpo de los números reales, lo cual fue generalizado posteriormente por el alemán David Hilbert (1862-1943) (fig. dcha.) y el polaco Stefan Banach (1892-1942).

-   El lógico inglés John Venn (1834-1923) utilizó los llamados “Diagramas de Venn” para justificar las propiedades de la teoría de conjuntos. La primera axiomatización de la teoría de conjuntos se debe al alemán Ernst Zermelo (1871-1953).  

-   En 1900 Hilbert publicó su mítica lista de 23 grandes problemas matemáticos sin resolver⁴. Él creía que todo enunciado matemático podía ser demostrado o refutado, cuestión que precisamente constituía el 2º problema de su lista, es decir, la consistencia o no de la aritmética. El americano de origen austriaco Kurt Gödel (1906-1978) echó por tierra esta afirmación en 1931, demostrando con sus teoremas de incompletitud que «un sistema lógico, con sus teoremas y sus axiomas, que contenga la aritmética elemental entre sus proposiciones, o es inconsistente⁵ o es incompleto» (1^er teorema de incompletitud), es decir, no puede ser a la vez consistente y completo: si es completo y podemos probarlo o refutarlo todo entonces en algún punto es contradictorio; y si todo él es impecable, sin sombra de contradicción, entonces es incompleto. Siempre habrá alguna proposición imposible de demostrar o refutar, y esta es la respuesta al 2º problema. Por ejemplo, la hipótesis del continuo (1^er problema de la lista) es indemostrable⁶. Probó también que «Dentro de tal sistema no puede demostrarse la consistencia de la axiomática del mismo» (2º teorema de incompletitud). Ambas conclusiones ponen un límite al campo matemático de modo similar a como el Principio de Indeterminación de Heisenberg se lo puso a la Física.

 

NOTAS:

1  El cardinal de un conjunto es el número de elementos de dicho conjunto. Cuando el conjunto es finito se acostumbra a decir "nº de elementos de..." en lugar de "cardinal de...".

2  Denominada así en alusión al continuo numérico, es decir, la recta real.

3  Dedekind fue uno de los pocos colegas que apoyó las tesis de Cantor. Es proverbial, por ejemplo, la animadversión que Cantor sufrió por parte del alemán Leopold Kronecker (1823-1891), del cual Cantor había sido su mejor alumno. Ello, unido al carácter pusilánime de Cantor, hizo que pasara los últimos años de su vida sumido en la enfermedad mental. Es famosa la frase de Kronecker: "Dios creó los números enteros; lo demás es cosa nuestra".

4  No en vano, fue posiblemente la última mente pensante que dominaba todas las ramas de las Matemáticas. Por ejemplo, la hipótesis de Riemann, vista en el cap. IX, es el 8º. La hipótesis del continuo es el 1º. Muchos de esos problemas se han solucionado ya, y otros han perdido interés....

5  Un sistema es consistente cuando no se puede demostrar un enunciado y su contrario. Y es completo si, dado un enunciado cualquiera verdadero, puede ser posible demostrarlo.

6  En 1963 el estadounidense Paul J. Cohen (1934-2007) demostró, basándose en los resultados de Gödel, que la hipótesis del continuo podía ser cierta o falsa dependiendo del sistema de axiomas elegido para construir la teoría de conjuntos, es decir, la hipótesis del continuo es indecidible.

 

 

 

XIV. EL AZAR

-   El cálculo de probabilidades surgió de las preguntas de los jugadores que a menudo necesitaban conocer las distintas posibilidades de ganar en las cartas y los dados¹. No en vano, el Libro de los juegos de azar de Gerolamo Cardano (1501-1576) es la primera obra sobre cálculo de probabilidades. Su autor, entre otras muchas facetas, era muy aficionado a los juegos de apostar.

-   El triángulo debido al francés Blaise Pascal² (1623-1662) (figura dcha.), ya era conocido antes que el propio Pascal, incluso por los matemáticos indios y persas medievales. De hecho, también se llama triángulo de Tartaglia, en honor al italiano Niccoló Fontana Tartaglia (1499-1557). Pascal fue, no obstante, el primero en observar la relación entre los números combinatorios  y los coeficientes de la fórmula del desarrollo de un binomio. Pascal y el también francés Pierre Fermat (1601-1655) inician además el Análisis Combinatorio, es decir, el estudio de las variaciones, permutaciones y combinaciones, que permiten calcular el número de casos posibles sin tener que contarlos. Pascal y Fermat intercambiaron algunas cartas estos temas, sentando las bases del Cálculo de Probabilidades. De la combinatoria también se ocupó el joven Leibniz (1646-1716) en su tesis «Disertatio de Arte Combinatoria» (1666), en la que también trata la lógica formal simbólica.

-   En los estudios de Pascal y Fermat se inspiró el astrónomo, físico y matemático holandés Christian Huygens (1629-1695) para publicar en 1657 su tratado «Sobre los razonamientos relativos a los juegos de dados»

-   El primer libro riguroso sobre probabilidad era el Ars Coniectandi (Arte de conjeturar) de Jakob Bernouilli (1654-1705), de 1713. En él recogía la ley de los grandes números y la probabilidad de un experimento binomial mediante la llamada distribución binomial o de Bernouilli. Fue también el primero en demostrar la fórmula de la potencia de un binomio, (a+b)ⁿ, por inducción completa.

-   El inglés de origen francés Abraham De Moivre (1667-1754) publicó en 1718 su teoría de permutaciones y combinaciones, exponiendo varios problemas referentes a la extracción de bolas de diversos colores. Además, fue el primero en vislumbrar, en fecha tan temprana como 1738, una distribución normal.

-   Thomas Bayes (1702-1761), clérigo inglés amante de las Matemáticas, enunció el famoso teorema que lleva su nombre; pero quedó en el olvido y fue el astrónomo y matemático francés Jean-Simon Laplace (1749-1827) quien lo redescubrió en 1774. Se usa en multitud de campos: seguros, medicina, riesgos de la política monetaria, genética, etc. Precisamente Laplace, en 1812, sistematizó la teoría de probabilidades con la publicación de su Teoría Analítica de Probabilidades.

-   Entre finales del XVIII y principios del XIX aparece el método de los mínimos cuadrados, dado a conocer por el francés Adrien-Marie Legendre (1752-1833). Sin embargo, a quien suele considerarse como fundador de este método es al alemán Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855), que lo ideó independientemente, cuando sólo tenía 18 años.

-   En 1837 el francés Simon Denis Poisson (1781-1840) estudia la distribución que hoy lleva su nombre, o “de los sucesos raros”, como un caso límite de la distribución binomial de Bernouilli. También es un caso límite de la binomial la distribución normal (figura izda.), llamada de Gauss-Laplace, pues ambos llegaron a ella al estudiar la teoría de errores, ya que los errores observacionales se distribuyen en Astronomía de acuerdo a esa curva. En 1835, el belga Adolphe Quetelet (1796-1874) fue el primero en defender la utilización de esta curva de campana también para datos sociales: nacimientos, muertes, etc.

-   El inglés Francis Galton (1822-1911) estudió la regresión lineal. Su compatriota Karl Pearson  (1856-1936) continuó su labor y popularizó hacia 1900 el criterio de la chi-cuadrado. En 1918 el inglés William Sealy Gosset, que publicó sus trabajos con el seudónimo² de Student, descubre la distribución que hoy conocemos como «Distribución t» de Student. Así es como da comienzo la teoría exacta de muestreo.

-   En los años 30 del pasado siglo el ruso Andrei Kolmogorov (1903-1987) axiomatizó el concepto de probabilidad en su obra "Fundamentos de la Teoría de la Probabilidad".

 

NOTAS:

1 Por cierto, aleatorio viene del latín aleae, suerte.

2 Pascal dedicó también sus investigaciones a la geometría proyectiva, probabilidad, Física -en concreto el tema de la presión de los fluidos-, fue uno de los fundadores del cálculo, además de literato y teólogo. Profundamente religioso, intentó aunar Fe y Razón.

3 El motivo era que Gosset trabajaba en la fábrica de cerveza Guinness, que prohibía a sus empleados la publicación de artículos científicos debido a una difusión previa de secretos industriales.

 

 

 

 

XV. COMPUTADORAS

-  El escocés John Neper (1550-1617) inventó una especie de ábaco o dispositivo, antecesor de la regla de cálculo, que realizaba sumas, multiplicaciones y productos. La regla de cálculo procede del trabajo de Edmund Gunter (1581-1626), que utilizó los logaritmos de Neper..

-   En 1642 el francés Blaise Pascal¹ (1623-1662) inventó, para ayudar a su padre, recaudador de impuestos, la primera calculadora mecánica, la cual realizaba sumas y restas, pero no multiplicaciones ni divisiones. Para ello ingenió algo en lo que nadie pensó antes, un mecanismo de acarreo que sumaba automáticamente la cantidad retenida a la columna siguiente. El alemán Gottfried Leibniz (1646-1716) la vio y construyó en 1674 otra similar, que sí las efectuaba.

-   Charles Babbage (1791-1871) diseñó a principios del s. XIX un prototipo de vapor de "máquina analítica" pensada para llevar a cabo operaciones aritméticas basadas en instrucciones dadas a la máquina al comenzar; Augusta Ada King, condesa de Lovelace (1815-1852), le ayudó a desarrollar los primeros algoritmos.

-   La primera calculadora producida en masa, el «arithmometer», fue fabricada por Thomas de Colmar (1785-1870) en 1820.

-   El irlandés George Boole (1815-1864) publica en 1854 el álgebra proposicional que lleva su nombre. El inglés Augustus de Morgan (1806-1877) y el americano Charles Sanders Peirce (1839-1914) encontraron, independientemente, las leyes que hoy conocemos con el nombre del primero.

-   El americano John Von Neumann, de origen húngaro (1903-1957), definió la lógica de las computadoras y desarrolló una teoría de juegos.

-  ENIAC (Electronic Numerical Integrator and Computer) en 1946 fue la primera computadora de la historia.

 

 

NOTAS:

1 Pascal dedicó también sus investigaciones a la geometría proyectiva, probabilidad, Física -en concreto el tema de la presión de los fluidos-, fue uno de los fundadores del cálculo, además de literato y teólogo. Profundamente religioso, intentó aunar Fe y Razón.

 

 

 

XVI. ÚLTIMAS TENDENCIAS

-   La historia de la geometría fractal la podemos remontar al período que va de 1875 a 1925, cuando matemáticos como el alemán Georg Cantor (1845-1918), el italiano Giuseppe Peano (1858-1932), el alemán David Hilbert (1862-1943), el polaco Waclaw Sierpinski (1882-1969) y el sueco Helge Von Koch (1870-1924) crearon las primeras figuras que hoy denominamos fractales.

-   Un ejemplo de este tipo es la curva creada en 1904 por Koch y que se denomina “curva de Koch” o “cristal de nieve”, la cual no solo no es diferenciable en ninguno de sus puntos, sino también cumple que la longitud del arco, entre dos puntos cualesquiera es infinita. Las sucesivas iteraciones para obtenerla se muestran a continuación:

 

 

-   Estas y otras figuras surgieron, unas veces como contraejemplos a los formalistas, y otras como juegos del espíritu sin interés de ningún tipo. Estas figuras fractales tenían dos características en común: la homotecia interna y la dimensión no entera.

-   En los años 60 del siglo pasado el polaco nacionalizado francés Benoit Mandelbrot (1924-2010) inició, a partir de estas curvas “monstruosas” desarrolladas décadas antes, una nueva geometría que él llamó fractal: curvas que llenan toda una región del espacio, curvas de longitud infinita que encierran un área finita, etc. Véase en la figura adjunta el conjunto de Mandelbrot. Estas figuras fractales contienen infinitas copias de sí mismas, pero no son simétricas en el sentido que estamos acostumbrados a considerar. Posteriormente, se ha comprobado que estas características son propiedad de muchos fenómenos naturales que ocurren en cascada, como la fisión nuclear o el crecimiento de determinadas especies.

-   En la década de 1970 un grupo de científicos intentó explicar ciertas irregularidades de sus diferentes disciplinas, y la sorpresa fue encontrar un sorprendente orden en el caos que sobreviene, por ejemplo, en el aumento y disminución de ciertas poblaciones de insectos, en las fluctuaciones de la Bolsa, en las formas de las nubes, la acumulación de galaxias y estrellas, etc. Así alcanzó importancia la Teoría del Caos, nombre que dieron los medios a la dinámica no lineal, donde causas pequeñas pueden tener efectos enormes (vulgarmente conocido como “efecto mariposa”: un simple aleteo de una mariposa puede producir pequeños cambios en la atmósfera que acaben provocando un tornado en otra parte del planeta); por ejemplo, ello se aplica en Meteorología.

 

 

Fuentes:   «Historia de las Matemáticas». Stewart, Ian. Ed. Crítica

«Breve Historia de las Matemáticas (2 tomos)». Collerus, Egmont. Ed. Doncel

«El pensamiento matemático de la antigüedad a nuestros días». Kline, Morris. Alianza Editorial, 1992

«La ecuación jamás resuelta». Livio, Mario. Ed. Ariel, 2007

«Ideas fugaces. Teoremas eternos». Navarro, Joaquín. Ed. RBA, 2010

«Historia de la Matemática». Argüelles Rodríguez, Juan Antonio. Ed. Akal, 1989

«Los objetos fractales». Mandelbrot, Benoit. Ed. Tusquets, 2006

«Los números primos». Gracián, Enrique. Ed. RBA, 2010

«Los secretos del número π». Navarro, Joaquín. Ed. RBA, 2010

«La historia de las Matemáticas». Sautoy, Marcus de. 2 DVDs. The Open University, 2008

«Un descubrimiento sin fin. El infinito matemático». Gracián, Enrique. Ed. RBA, 2010

«El enigma de Fermat». Violant i Holz, Albert. Ed. RBA, 2010

«La música y la mente». Anthony Storr. Ed. Paidós, 2002

«El teorema del loro». Denis Guedj. Ed. Anagrama, 2000

«Cuentos y leyendas de las Matemáticas». Muñoz Puelles, Vicente. Ed. Anaya, 2017

«Historia de la Matemática». C. B. Boyer. Alianza Editorial, 1999

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